Matematické Fórum

Skrytý text:


Oba jsme využili podobnost trojúhelníků, ale trochu v jiné souvislosti. Dávám sem obrázek, abych nemusel příliš zdůvodňovat vztah [v(c)+2r(c)] / v(c) = r(c) / r, plynoucí z podobnosti trojúhelníků. Odtud snadno dostanu r(c) = [r*v(c)] / [v(c) - 2r], což po dosazení do dokazovaného vztahu (r(a) a r(b) dostanu cyklickou záměnou) a následného vynásobení číslem r dává: 1 = [v(a) - 2r] /v(a) + [v(b) - 2r] /v(b) + [v(c) - 2r] /v(c), což lze ještě dále upravit na: 1 = r/v(a) + r/v(b) + r/v(c). Nyní vyjdu ze vztahu S = 1/2 * c * v(c) - anlogicky pro zbylé strany - dostanu v(c) = 2S/c, což po dosazení do mého posledního tvaru dá ještě po následném vynásobení výrazem S  tohle: S = (1/2)*(a+b+c)*r, což je poměrně známý vztah a předpokládám, že zrovna ty ho znáš (mýlím-li se, musíš se ozvat). Všechny kroky až na násobení výrazem jsou ekvivalentní, tedy vratné, důkaz je tedy "oboustranný". Co se týká toho násobení (resp. dělení při opačném postupu) výrazem, je vždy nenulový, takže se nemám čeho bát.
Zajímavé, že toho tětivového čtyřúhelníku jsem si tam vůbec nevšiml, dokud jsi nenapsal, že tam nějaký je. Snad i právě proto je dobré to sem dávat ty úlohy, protože každý to řeší trochu jinak a hlavně na sobě nezávisle, čímž kolikrát člověk přijde na zajímavé nečekané souvislosti.