Matematické Fórum

Petr213

Ahoj, vím že otázek na toto téma je zde již hodně, ale přesto bych někoho požádal, zda by si dal tu práci a poradil mi s těmito 2 příklady.

Zadání: Zjistěte, zda vektory jsou LZ nebo LN

a) a=(2;3) b=(3;5)

b) a=(3;6;2) b=(5;2;1) c=(0,3,1)

Jen bych dodal, že tyto 2 příklady jsem zkoušel převést na matici ve schodovitém tvaru, ale nepodařilo se a nevím právě jak to vypočítat z rovnic.

Dana1 · 27. 03. 2011 16:02 — Editoval Dana1 (27. 03. 2011 16:04)

↑ Petr213:

Že porušuješ pravidlá fóra, tak to nie si jediný...

Ale tá závislosť vektorov... Dva vektory sú závislé, ak jeden je násobkom druhého - alebo sa mýlim?

Z tých troch treba urobiť maticu, upraviť na trojuholníkový tvar a ak vznikne 1 nulový riadok, tak sú závislé - alebo nie?

Čo Ťa zabrzdilo, čo Ti nejde?

claudia

"shodovitý" tvar?! To jako, že opticky připomíná "shodiště"? :-) O:-)

Postup ti Dana radí dobře, ale je třeba jej podložit nějakou teorií o podprostorech generovaných řádky matice a ekvivalentních úpravách.

Kdybychom teorii neznali, tak z definice potřebujeme ověřit, pro jaká $x_1, x_2$ platí, že $x_1 $2, 3$ + x_2 $3, 5$ = $0, 0$$ . To se dá také přepsat jako soustava rovnic:

$2x_1+3x_2 &= 0\\ 3x_1+5x_2 &= 0$

Řešení soustavy rovnic by nemělo dělat problém.

Pro tři vektory ze třídimenzionálního prostoru je to zcela analogické, jen získáš tři rovnice, tři neznámé.

Jakmile spočítáme ty soustavy, musíme se zamyslet, co nám vlastně vyšlo. Pokud platí $x_1=x_2$=x_3$=0$ , pak jsou vektory nezávislé. Pokud je řešení více, jsou závislé.

Petr213

Dana1 napsal(a):
↑ Petr213:

Že porušuješ pravidlá fóra, tak to nie si jediný...

Ale tá závislosť vektorov... Dva vektory sú závislé, ak jeden je násobkom druhého - alebo sa mýlim?

Z tých troch treba urobiť maticu, upraviť na trojuholníkový tvar a ak vznikne 1 nulový riadok, tak sú závislé - alebo nie?

Čo Ťa zabrzdilo, čo Ti nejde?

V prvé řadě se omlouvám za porušení pravidel, i když nevím čím jsem se provinil.

Ale k příkladům.

U prvého vím že dostanu tuto soustavu $http://www.matweb.cz/cgi-bin/mathtex.cgi?\dpi{140}\gammacorrection{1}\parstyle\begin{align*}\usepackage[czech]{babel}%202x_1+3x_2%20&=%200\\%203x_1+5x_2%20&=%200\end{align*}$

bohužel si ale nevím rady jak ji vypočítat.

A u druhého případu taktéž vím že vektory převedu na matici ve tvaru:

3 6 2

5 2 1

0 3 1

ale počítal jsem snad hodinu a nemůž dostat schodovitý tvar.

P.S. Jestli jsem někoho zmátl termínem matice ve schodovitém tvaru, tak na naší škole je tento termín běžně používán.

claudia

↑ Petr213:

"schodovitý" není totéž co "shodovitý", jak jsi psal původně :-)

Pravidla prosí nechť jedno téma obsahuje jeden příklad.

Řešení soustavy rovnic? Sčítací metoda? Dosazovací metoda?

Dana1 · 27. 03. 2011 17:06 — Editoval Dana1 (27. 03. 2011 17:15)

↑ Petr213:

Ja som Ti poslala iba kuchynský postup, Claudia teoreticky podložené zápisy.

Matice:

$\begin{pmatrix} \color{blue}3 & \color{blue}6 & \color{blue}2 \\ \color{blue}5 & \color{blue}2 & \color{blue}1 \\ \color{red}0 & \color{red}3 & \color{red}1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 3 & 6 & 2 \\ \color{red}0 & \color{red}3 & \color{red}1 \\ \color{blue}0 & \color{blue}24 & \color{blue}7 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 3 & 6 & 2 \\ \color{red}0 & \color{red}3 & \color{red}1 \\ \color{magenta}0 & \color{magenta}0 &\color{magenta}-1 \end{pmatrix}$

Snáď tam nie je chyba...

Petr213 · 27. 03. 2011 17:11

claudia napsal(a):
↑ Petr213:

"schodovitý" není totéž co "shodovitý", jak jsi psal původně :-)

Pravidla prosí nechť jedno téma obsahuje jeden příklad.

Řešení soustavy rovnic? Sčítací metoda? Dosazovací metoda?

Tak to se jednalo o překlep, což je ale má chyba. Mě přišlo zase zbytečné zakládat 2 témata tak jsme to napsal do jednoho.

Samozřejmě znám dosazovaí metodu, tak špatně na tom zas nejsem:), jen prostě tahle rovnice my nejde vypočítat.

No nevím asi jsem blbej:)

Petr213 · 27. 03. 2011 17:19

Dana1 napsal(a):
↑ Petr213:

Ja som Ti poslala iba kuchynský postup, Claudia teoreticky podložené zápisy.

Matice:

$\begin{pmatrix} \color{blue}3 & \color{blue}6 & \color{blue}2 \\ \color{blue}5 & \color{blue}2 & \color{blue}1 \\ \color{red}0 & \color{red}3 & \color{red}1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 3 & 6 & 2 \\ \color{red}0 & \color{red}3 & \color{red}1 \\ \color{blue}0 & \color{blue}24 & \color{blue}7 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 3 & 6 & 2 \\ \color{red}0 & \color{red}3 & \color{red}1 \\ \color{magenta}0 & \color{magenta}0 &\color{magenta}-1 \end{pmatrix}$

Snáď tam nie je chyba...

Děkuji za vyřešení matice.

Jen se zaptám na ten druhý krok. Jasně prohození řádků jsem pochopil, ale jak jsi získala řádek 0 24 7 ?

claudia · 27. 03. 2011 17:20

Dobrá, tak krok za krokem :-) Z první rovnice vyjádři x_1 :-)

Dana1 · 27. 03. 2011 17:23

↑ Petr213:

Vidíš, pre toto nemajú byť dva príklady v 1 téme.

Prvý modrý riadok krát 5, druhý modrý riadok krát -3 a oba výsledky zrátať.

A teraz hor sa na sústavu od Claudie...

claudia · 27. 03. 2011 17:23

Nj, ale jak z té "vyřešené" matice člověk ukáže, že vektory jsou lineárně nezávislé? (ne, že bych to nevěděla :-)

Petr213 · 27. 03. 2011 17:28

↑ claudia:

Tak měli by být nezávislé, protože hodnost matice je 3.

Kdyby tam byl nulový řádek tak by byli závislé ne?

claudia · 27. 03. 2011 17:39

↑ Petr213:

Pak záleží na tom, jaký vztah mezi hodností a lineární nezávislostí znáš. Někde hodnost definují přímo jako počet lineráně nezávislých řádků. To je pak triviální :-) Jindy se třeba definuje, že hodnost matice je rovna dimenzi podprostoru generovaného řádky. Tam pak poslouží např. úvaha, že když ty tři vektory generují prostor, lze z něj vybrat jeho bázi. A když ten prostor má dimenzi tři, bude báze obsahovat (všechny) tři vektory. A bázové vektory jsou lineárně nezávislé.

A nebo se dá jen říct, že homogenní soustava rovnic reprezentovaná tou maticí má pouze triviální řešení a tím je to dokázáno z definice.

Kdyby tam byl nulový řádek, tak jsou závislé.

Petr213 · 27. 03. 2011 17:48

↑ claudia:

Nám ve škole řekli, že když tu nezávislost a závislost vektorů počítáme přes matici, tj. převedení na schody, tak že když je tam nulový řádek jsou závislé a když ne tak nezávislé.

A že když to řešíme přes rovnice, tak že když to má jedno řešení, pak jsou vektory nezávislé a když je 2 a více řešní tak jsou závislé.

No v tom aby se pes vyznal:D

Petr213

Tak již jsem snad vypočetl tu rovnici, ale nevím zda jse to tak správně tak se na to prosím podívejte:)

claudia · 27. 03. 2011 18:02

Výborně. Tak už i chápeš, proč platí, když tam nedokážeš získat nenulový řádek, že jsou lineárně nezávislé (protože jediným řešením jsou samé nuly).

Petr213 · 27. 03. 2011 18:10

↑ claudia:

Děkuji všem za pomoc. Teď už jsem zase o něco chytřejší:)

Matematické Fórum

#1 27. 03. 2011 15:59 — Editoval Petr213 (27. 03. 2011 16:35)

Lineární závislost vektorů

#2 27. 03. 2011 16:02 — Editoval Dana1 (27. 03. 2011 16:04)

Re: Lineární závislost vektorů

#3 27. 03. 2011 16:07 — Editoval claudia (27. 03. 2011 16:53)

Re: Lineární závislost vektorů

#4 27. 03. 2011 16:47 — Editoval Petr213 (27. 03. 2011 16:48)

Re: Lineární závislost vektorů

Dana1 napsal(a):

#5 27. 03. 2011 16:53 — Editoval claudia (27. 03. 2011 16:55)

Re: Lineární závislost vektorů

#6 27. 03. 2011 17:06 — Editoval Dana1 (27. 03. 2011 17:15)

Re: Lineární závislost vektorů

#7 27. 03. 2011 17:11

Re: Lineární závislost vektorů

claudia napsal(a):

#8 27. 03. 2011 17:19

Re: Lineární závislost vektorů

Dana1 napsal(a):

#9 27. 03. 2011 17:20

Re: Lineární závislost vektorů

#10 27. 03. 2011 17:23

Re: Lineární závislost vektorů

#11 27. 03. 2011 17:23

Re: Lineární závislost vektorů

#12 27. 03. 2011 17:28

Re: Lineární závislost vektorů

#13 27. 03. 2011 17:39

Re: Lineární závislost vektorů

#14 27. 03. 2011 17:48

Re: Lineární závislost vektorů

#15 27. 03. 2011 17:58 — Editoval Petr213 (27. 03. 2011 17:59)

Re: Lineární závislost vektorů

#16 27. 03. 2011 18:02

Re: Lineární závislost vektorů

#17 27. 03. 2011 18:10

Re: Lineární závislost vektorů

Zápatí