Matematické Fórum

Ahojte.

Potřeboval bych trochu poradit s jedním problémem. Jedná se o problém z numerické analýzy. Budu vděčný za jakoukoliv snahu pomoc. Jde o to, že problém na mě působí poměrně "kuchařkovitě". To jest že podobná věc patrně už vyřešená je, protože to na mě zkrátka působí jako poměrně obecná základní numerická úloha, velice jednoduše zadaná. Budu se snažit ji formulovat co nejpřesněji umím, aby bylo jasno v tom, kde je můj problém. Proto může vypadat popis problému trochu zdlouhavě, ačkoliv by to znalý matematik nejspíš napsal na dva řádky. Nejspíš se trochu rozepíši, protože bych rád napsal (raději všechny) své postřehy, kudy cesta moc nevedla apod. Každému, kdo bude ochotný se prolouskat mým dosavadním postupem a schopen mi dát vhodnou radu, budu maximálně vděčný. Díky.

Tady do rámečku popíši problém v krátkosti, pokud se nechcete prodírat mými zldouhavými postupy a myšlenkovými skoky o tom, kam jsem se zatím dopracoval.

Nalezněte efektivní numerickou metodu pro výpočet funkce alpha : R^2 -> R, pro kterou platí



Funkce jsou 2pi periodické v theta (není ale není zas tolik užitečná infromace). Kde f je jasně zadána (se všemi derivacemi). Okrajové podmínky pro alfa jsou, že pro všechny hodnoty theta (0,2pi) platí

Mám zadánu funkci R^2 -> R :   U = U(x,y)
U je na celém R^2 spojitá a má tam i spojité všechny derivace. Též existuje totální diferenciál libovolného řádu ve všech bodech. Existují body, ve kterých nabývá nulových hodnot.

Dále definuji





Pro vysvětlenou jak to značím. Jedná se o křivkový integrál vedoucí z bodu A do bodu B (body jsou z definičního oboru U) funkce U. Integrujeme podél takové křivky, podél které je hodnota výsledného integrálu s pevnými body A,B lokálně minimální. Integrál lze tedy chápat jako funkcionál, jehož variace je rovna nule.

Nyní samotný problém. V R^2 si nejdříve označím bod A a nyní chci nalézt takovou funkci R^2 -> R, jejíž hodnota odpovídá



Kdyby funkce U byla všude konstantní, tak by funkce Z odpovídala Euklideovské vzdálenosti bodů A,B a vyšlo by to



U je zadána "ošklivě" a není možno řešit úlohu analyticky. Rád bych, aby řešení fungovalo, ačkoli U není analytycky zadáno (definováno typicky nějakou soustavou PDR s možností ji numericky spočítat) - to už je ale pokročilejší level.

Kam jsem se zatím dostal

Problém s rovnicemi odvozenými z variačního počtu

Úloha jde na první pohled řešit tím způsobem, že se z variačního počtu odvodí rovnice, které zachycují vývoj křivky. Je to verze Lagrangeových rovnic druhého druhu. Pokud si definuji "v" jako vektor R^2 -> R^2 takový, že by měl být tečný v každém bodě k extromální křivce, pak pro něj bude platit.

(*)

Pro složku y to bude vypadat analogicky se záměnou x <-> y. Tau značí parametr křivky. Pro geometry - jedná se o rovnici geodetiky v prostoru s metrikou definovanou způsobem



Tento postup naráží na dva problémy. Tak prvně je to problematické chování v místech, kde U = 0. Co je horší, jeden z případů co řeším je ten, že dokonce onen výchozí bod A je zrovna ten, kde platí že U = 0. V tomto bodě není rovnice geodetiky (*) dobře definovaná. Přesto však v místech U = 0 není žádná podivnost, co se týče tvaru křivky. Jen volba vektoru v nebyla příliš šťastná, neboť ten se zde chová podivně. Bude vycházet, že jeho velikost v místech U blížících se k nule bude nabývat nekonečných hodnot. Pro nás ale naní ani tak podstatná velikost v jako spíš jeho směr. Velikost v nám v podstatě říká, jak moc nabývá hodnota chtěného integrálu (Z) v závislosti na parametru tau. Pro takto deefinovaný vektor platí, že se podél celé křiky zachovává hodnota



Z čehož je jasňa vidět, že vzniká v místech U = 0 problém. Nejde jen o body s hodnotou U = 0, ale obecně pro body blížící se k nule. Jedná se o numerický problém a v těchto oblastech by mohla značně dělat neplechu nepřesnost.

Druhý problém je ten, že tento postu vyžaduje jiné okrajové podmínky, než které mi vyhovují. Tedy já bych rád za dal dva body a numericky našel hodnotu křivkového integrálu. Rovnice (*) však očekávají že zadám vychozí bod a směr křivky, následně mi pak spočítají vývoj celé křivky. To kam doputuji, už záleží na výpočtu. Tato věc by se mohla dát vyřešit metodou jakéhosi nástřelu. Že si tipnu msěr a když se netrefím do požadovaného bodu, tak zkusím střelit vedle. Mám dobrý důvod se domnívat, že křivky vycházející z jednoho bodu se nikde mezi sebou neprotnou, takže by se pak k výsledné křivce dalo nějak dokonvergovat. To však není příliš uspokojivé řešení. Samotný výpočet křivky je numerický problém. A následně se na to naváže další numerický problém, což nevypadá na nejefektivnější numerikcou metodu (mám dobrý důvod, proč bych rád, aby mi to počítalo co nejrychleji).

V podstatě narážím na filozofii, že znám efektivní numerickou metodu jak z AA vypočítat BB a dále znám efektivní numerickou metodu, jak z BB vypočítat CC. Mě ale nezajímá BB, ale pouze CC. Výpočet CC z AA tedy nemusí být cestou AA -> BB -> CC tím nejoptimálnějším, ačkoli podkroky jsou udělány numericky dobře.

Řečeno trochu jinak. Mě vlastně vůbec nezajímá tvar těch extremálních křivek. Zajímá mě až výsledná hodnota integrálu podél nich. Všechno to jsou numerické problémy. A to dokonce, že bych rád znal hodnotu Z_AB pro sice pevný bod A, ale libovolný bod B. Takže se dá předpokládat, že znám- li hodnotu Z v jistém bodě B1, tak pro bod B2, který je "těsně" vedle mohu tuto informaci zřejmě použít. Úplně královské by bylo, kdybych mohl Z prostě zadat soustavou PDR.

Přeformulování problému na řešení kvazilineární PDR

Problém lze ekvivalentně popsat jistou PDR, o které mi jeden numerik prozradil, že je prý nějaká kvazilineární PDR. Mám PDR:



Kde f je jasně zadána (se všemi derivacemi). Okrajové podmínky pro alfa jsou, že pro všechny hodnoty theta (0,2pi) platí



(pozn.: Tím, že to je skutečně ekvivalentní k předchozí úloze se raději nezabívejte. Jsem si tím poměrně dost jistý a odvozování by nebylo na chvíli)

Úkolem je vypočíat alpha. Nejedná se o klasickou soustavu PDR. Potřebovali bychom dvě, abychom vyřešili podobu funkce dvou proměnných. Tady je dá se říci v každém bodě R^2 definovaná derivace alfa pouze v jistém směru. A dále jsou dány okrajové podmínky tak, že integrální křivka podél směru, ve kterém známe vždy derivaci alfa, vždy doputuje do místa, kde je definovaná okrajová podmínka. Rovnice by měla být postačující na nalezení alpha. Bohužel ale netuším, jak se tyto rovnice numericky řeší. Tomuto postupu osobně dávám větší naději, než tomu přes variační počet, který má pro můj případ dost much.

K čemu je to všechno vlastně dobré?

Fakt, že se nad tím trochu sekla moje práce na diplomce je teď vedlější :-). Je to sice problém, který se vyskytuje v obecné teorii relativity, zcela analogická fyzikální úloha je i toto : Kam se z bodového zdroje dostanou paprsky světla šířící se prostředím o nehomogením indexu lomu n za jistý čas t? (repektive za jaký čas se parsek dostane do jistého bodu - inverzní úloha). Připadá mi to natolik kanonická úloha, že jistě existují vhodné metody k řešení, jen jsem je zatím neodhalil. Rady zkušenějších zatím vedou cestou variačních počtů, které jsou ale pro můj případ příliš velký kanón na malého vrabce. Dost by se mi hodilo, kdyby byl numerický výpočet co nejrychllejší, protože by pak "udělátko", které hodlám zplácat v mathematice nebo maple bylo dost užitečné pro řadu výpočtů v OTR a numerická relativita se posune zas o kousek dál ve svém vývoji :-). Nechi po vás, aby ste za mne oddřeli ňejakou práci. A věnovali tomu zbytečně čas. Jen jestli jste se už s podobným problémem někdo nesetkal a netušíte správně jej uchopit.