Matematické Fórum

ivec · 28. 03. 2011 12:57

ake su nulove body ak sa nachadza absolutna hodnota dnu v inej? -2 a 3?

Dana1 · 28. 03. 2011 13:26

↑ ivec:

Absolútna hodnota niečoho je väčšia ako 3, keď to niečo je buď väčšie ako 3 alebo menšie ako -3.

V Tvojom prípade I. $|x+2|-5>3$ alebo II. $|x+2|-5<-3$

musixx · 28. 03. 2011 13:28 — Editoval musixx (28. 03. 2011 13:47)

↑ ivec: Ne. Není to ale žádná věda...

Navíc ↑ Dana1: už nabídla alternativní řešení, které funguje v této konkrétní situaci.

Ale podívejme se na to obecněji. Jistě bude třeba rozlišit, jak funkce vypadá na intervalech $(-\infty;-2)$ a $[-2;\infty)$ . Na prvním je to $|-x-2-5|=|-x-7|$ , na druhém je to $|x+2-5|=|x-3|$ .

Pro první výsledek $|-x-7|$ , tedy na intervalu $(-\infty;-2)$ se ještě musíme ptát, co s funkcí "udělá" nulový bod $x=-7$ . Zřejmě tedy je třeba vyšetřovat chování zvlášť pro intervaly $(-\infty;-7)$ a $[-7;-2)$ , protože "nový" nulový bod $-7$ padl do intervalu $(-\infty;-2)$ .

Pro druhý výsledek $|x-3|$ , tedy na intervalu $[-2;\infty)$ se ještě musíme ptát, co s funkcí "udělá" nulový bod $x=3$ . Zřejmě tedy je třeba vyšetřovat chování zvlášť pro intervaly $[-2;3)$ a $[3;\infty)$ , protože "nový" nulový bod $3$ padl do intervalu $[-2;\infty)$ .

----------------------------

Poznámka: Šlo-li by třeba o funkci $\big|\ |x+2|+1\ \big|$ , pak bude situace malinko jiná. Uvádím jako příklad, že ne vždy se musí funkce "rozpadnou na stejný počet částí".

Opět začínám od nejvnitřnějších absolutních hodnot a ptám se proto, jak funkce vypadá na intervalech $(-\infty;-2)$ a $[-2;\infty)$ . Na prvním je to $|-x-2+1|=|-x-1|$ , na druhém $|x+2+1|=|x+3|$ .

Ovšem potenciální nulový bod pro první interval, tedy bod $x=-1$ leží mimo interval $(-\infty;-2)$ , proto funkce tam nikdy nemůže vypadat jako $-(-x-1)$ , tedy je rovna $-x-1$ na celém $(-\infty;-2)$ .

Analogicky pro interval $[-2;\infty)$ , kde je pro změnu potenciální nulový bod $x=-3$ mimo, a proto tam funkce vždy vypadá jako $x+3$ .

Rumburak

Takovou úlohu lze řešit substitucí - ve dvou etapách:

1. Položíme $|x + 2| = y$ a vyřešíme soustavu nerovnic $|y - 5| > 3 , \, \,y \ge 0$ , množinu všech jejích řešení označíme A.

2. Dále budeme hledat množinu B všech x , pro která je $|x+2|\in A$ , což opět povede na řešení nějakých nerovnic.

Množina B bude zároveň množinou všech řešení původní nerovnice $\,\,\left|\, |x+2| - 5\, \right| > 3 \,\,$ .

POZNÁMKA. Obdobně postupovala i Dana (viz ↑ Dana1:), zvolila však (de facto) substituci $|x+2| - 5 = y$ .
Kolega ↑ musixx: ukázal postup zcela jiný - je dobré rozumět oběma.

ivec · 28. 03. 2011 14:16

panove Musixxove je prilis velkolepe na to aby som na nieco take prisiel sam :-D, a tie substitucie mi to vlastne aj vyriesili, teda dakujem za napad, sice mi vysli len dve z troch vyslednych intervalov ale aspon nieco;) a cez tabulku s nulovymi bodmi sa nieco take vyriesit neda naraz bez substitucii?

musixx · 28. 03. 2011 14:36 — Editoval musixx (28. 03. 2011 14:41)

ivec napsal(a):
... cez tabulku s nulovymi bodmi sa nieco take vyriesit neda naraz bez substitucii?

Dá, a jde o to mé

ivec napsal(a):
panove Musixxove je prilis velkolepe...

řešení. Vlastně chybí jen krůček od toho, co jsem už spočítal.

$\big|\ |x+2|-5\ \big|=\begin{cases}-x-7&{\rm pro\ }x\in(-\infty;-7)\\x+7&{\rm pro\ }x\in[-7;-2)\\-x+3&{\rm pro\ }x\in[-2;3)\\x-3&{\rm pro\ }x\in[3;\infty)\end{cases}$

Tedy máme nulové body -7, -2 a 3 (tedy je-li x rovno některému z těchto čísel, pak některá absolutní hodnota je nulová: takto je třeba pojem nulového bodu vnímat).

Rumburak · 28. 03. 2011 15:22

↑ ivec:
Ta metoda nulových bodů vychází přímo z definice absolutní hodnoty.
Jak vime, definice absolutní hodnoty má dvě větve :

1. $|a|\,:=\, \,\,\,a \,\,\, \text{pro} \,\,a \ge 0$ ,

2. $|a|\,:= -a \, \,\,\text{pro} \,\,a < 0$ .

Proto, chceme-li se např. ve funkčním výrazu $|f(x)|$ zbavit abs. hodnoty, je jednou z možností bezprostředně použít předchozí definici.
Dostaneme pak

1' . $|f(x)|\,=\, \,\,\,f(x) \,\,\, \text{pro} \,\,f(x) \ge 0$ ,

2' . $|f(x)|\,=-f(x) \,\,\, \text{pro} \,\,f(x) < 0$ ,

tím se úloha "vyjádřit |f(x)| bez použití absolutní hodnoty" rozvětví na dvě části.

Ve středoškolských úlohách se na místě funkce f zpravidla vyskytuje taková funkce, jejímž grafem je nějaká souvislá křivka.
Pak jsou s hledika nalezení hranice mezi kroky 1' , 2' důležité průsečíky tohoto grafu s osou x, což vede k rovnici f(x) = 0 - odtud
máme "metodu nulových bodů" . Není to tedy nějaká mechanická metoda, ale metoda, která má své odůvodnění. Na základě
porozumění konkretní úloze mohu rozhodnout, zda a jakým způsobem mám tuto metodu použít.

ivec · 28. 03. 2011 18:28

uz mi to vyslo vdaka ;)

laylitta · 06. 07. 2011 19:42

↑ ivec: no mne vysli na ciselnej osi konkretne cisla -10,-4,0,6 len neviem, co s tym mam robit dalej, aby som zistila intervaly. neviete mi pomoct?

miso16211 · 06. 07. 2011 20:04

stači si načrtnuť graf funkcii $|x + 2| = y$ a to tak že načrtneš $y = |x|$ a potom posunieš graf smerom doľava
potom posunieš dole o 5 dieliky a pak určiš bodz v ktorych pretina tento graf priamku y = 3 a je to.

Rovnice a nulove body som nikdz nechapal, až som si nato vymyslel svoj štýl ako to riešiť, keď niečo nechapeš môžeš isť na online pomoc a napíš mi správu, čau

jelena · 06. 07. 2011 21:04

Zdravím vás, téma už je dost nepřehledné, ale snad se zorientujeme:

↑ laylitta:

pokud je to řešení nerovnic na jednotlivých intervalech, potom bys měla vytvořit průniky mezi řešením nerovnice na každém intervalu a podmínkou pro interval.

Za použití tabulky od kolegy ↑ musixx: (děkuji velice, omlouvám se, že pokazím celou estetiku) dořeš prosím

$\big|\ |x+2|-5\ \big|>3 \begin{cases}-x-7>3&{\rm pro\ }x\in(-\infty;-7)\\x+7>3&{\rm pro\ }x\in[-7;-2)\\-x+3>3&{\rm pro\ }x\in[-2;3)\\x-3>3&{\rm pro\ }x\in[3;\infty)\end{cases}$

--------------------------------------------------------------------------

↑ miso16211:

Děkuji za doporučení. Tvůj návrh lze použit pro zakreslení grafického řešení $|x+2|-5>3$ , ovšem pro úlohu ze zadání $\big|\ |x+2|-5\ \big|>3$ ještě je třeba použit další absolutní hodnotu a obrátit špíčku V nad osu x, tedy místo $V$ budeme mít $W$ . Zadej to prosím do WolframAlpha, pokud máš chvilku. Je to tak? Děkuji.

OT: nemyslím, že by byla nějaká námitka proti nápadu na online pomoc kolegy mikee, ale propaguj to prosím jinou formou, než nabízením v konkrétním matematickém tématu. Na OT prosím nereagovat v tomto tématu. Děkuji.

miso16211 · 07. 07. 2011 14:20

jo proste grafy s absolútnou hodnotou nakreslime akoby bez nej a potom všetko pod x osou pomocou osovej sumernosti dáme nad x os.↑ jelena:

musixx · 07. 07. 2011 15:03 — Editoval musixx (07. 07. 2011 15:18)

↑ miso16211: To jsi se asi nechal příliš unést nějakými konkrétními příklady. Co třeba
$f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|$
nebo
$g(x)=\Bigl|\bigl||x|-2\bigr|-1\Bigr|$
nebo snad
$h(x)=|x|-|x+1|$ .

EDIT: Rozumím tomu, jak to chceš postupně konstruovat, a nic proti tomu nemám. Ale jak budeš bez výpočtů sčítat v f(x), případně "otáčet nad osu x" graf funkce ||x|-2|-1 v případě mého druhého příkladu g(x)?

pepa999

↑ ivec:
Pokud tě zajímají čistě nulové body, tak položíš vnitřek té "hlavní" absolutní hodnoty roven nule.... $|x+2|-5=0$ a upravuješ
$|x+2|=5$
$|x-(-2)|=5$
$x = -7 \vee x = 3$

(absolutní hodnota rozdílu dvou čísel se rovná vzdálenosti jejich obrazů na číselné ose a nebo ještě jinak, tuto poučku ani nemusíš znát. Prostě, když dosadíš za x = -2+-5, tak vnitřek absolutní hodnoty bude +5 respektive -5(-dvojky se pokrátí), takže absolutní hodnota bude 5. Pro žádný jiný čísla už +-5 uvnitř absolutní hodnoty nedostaneš(tedy ani 5 jako výsledek absolutní hodnoty), protože lineární funkce y=ax+b je prostá.)

rebirth_boy · 11. 03. 2012 08:50

Zdravim forum, nechcem zakladat novu temu tak snad nevadi ak vytiahnem staru. Mam totiz problem s absolutnou hodnotou v absolutnej hodnote a akosi si to neviem vysvetlit, obycajnym absolutnym hodnotam rozumiem ale vnorenym nie, resp. ich grafu.

toto je normalna absolutna hodnota, tomu rozumiem...

aj tomuto rozumiem, absolutna hodnota sa posunie o stupen nizsie...

toto mi uz nieje jasne, pretoze si neviem vysvetlit tie "vlnovky"

Jenda358 · 11. 03. 2012 11:22

Pro doplnění uvádím další možnost rěšení původní nerovnice. Je zřejmé, že pro všechna reálná $x$ jsou obě strany nerovnice nezáporné. Z tohoto poznatku plyne, že umocnění na druhou je pro tuto nerovnici ekvivalentní úprava.
$||x+2|-5|>3$
$(|x+2|-5)^2>9$
$x^{2}+4x-10|x+2|+20>0$

1) $x\le -2$
$x^{2}+14x+40>0$
$(x+4)(x+10)>0$
$K_{1}=[(-\infty;-10)\cup (-4;\infty)]\cap (-\infty;-2\rangle$
$K_{1}=(-\infty;-10)\cup (-4;-2\rangle$

2) $x>-2$
$x^{2}-6x>0$
$x(x-6)>0$
$K_{2}=[(-\infty;0)\cup (6;\infty)]\cap (-2;\infty)$
$K_{2}=(-2;0)\cup (6;\infty)$

$K=K_{1}\cup K_{2}$
$K=(-\infty;-10)\cup (-4;0)\cup (6;\infty)$

vanok · 11. 03. 2012 12:30

poznamka
pozri sa aj sem
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=267176#p267176

Mozno sa ti to bude zdat ako reklama na tabulkovu metodu.
Ale skutocne, vdaka nej sa vsetko jednoduchsie riesi.

rebirth_boy · 11. 03. 2012 14:08

ok, diki:) myslim ze tomu uz trocha rozumiem

Matematické Fórum

#1 28. 03. 2011 12:57

absolutna hodnota v absolutnej hodnote

#2 28. 03. 2011 13:26

Re: absolutna hodnota v absolutnej hodnote

#3 28. 03. 2011 13:28 — Editoval musixx (28. 03. 2011 13:47)

Re: absolutna hodnota v absolutnej hodnote

#4 28. 03. 2011 13:35 — Editoval Rumburak (28. 03. 2011 14:02)

Re: absolutna hodnota v absolutnej hodnote

#5 28. 03. 2011 14:16

Re: absolutna hodnota v absolutnej hodnote

#6 28. 03. 2011 14:36 — Editoval musixx (28. 03. 2011 14:41)

Re: absolutna hodnota v absolutnej hodnote

ivec napsal(a):

ivec napsal(a):

#7 28. 03. 2011 15:22

Re: absolutna hodnota v absolutnej hodnote

#8 28. 03. 2011 18:28

Re: absolutna hodnota v absolutnej hodnote

#9 06. 07. 2011 19:42

Re: absolutna hodnota v absolutnej hodnote

#10 06. 07. 2011 20:04

Re: absolutna hodnota v absolutnej hodnote

#11 06. 07. 2011 21:04

Re: absolutna hodnota v absolutnej hodnote

#12 07. 07. 2011 14:20

Re: absolutna hodnota v absolutnej hodnote

#13 07. 07. 2011 15:03 — Editoval musixx (07. 07. 2011 15:18)

Re: absolutna hodnota v absolutnej hodnote

#14 08. 07. 2011 12:53 — Editoval pepa999 (08. 07. 2011 13:07)

Re: absolutna hodnota v absolutnej hodnote

#15 11. 03. 2012 08:50

Re: absolutna hodnota v absolutnej hodnote

#16 11. 03. 2012 11:22

Re: absolutna hodnota v absolutnej hodnote

#17 11. 03. 2012 12:30

Re: absolutna hodnota v absolutnej hodnote

#18 11. 03. 2012 14:08

Re: absolutna hodnota v absolutnej hodnote

Zápatí