Matematické Fórum

ExSh00t

$(z_1-z_2i)=(z_1+z_2i)^2$
$z_1-z_2i=z_1^2+2z_1.z_2i+z_2^2i^2$
$z_1-z_2i=z_1^2+i(2z_1.z_2+z_2^2)$
=>
$z_1=z_1^2$
$-z_2=2z_1.z_2+z_2^2 => z_1=\frac{-z_2-z_2^2}{2z_2}=-\frac12-\frac{z_2}2$
$-\frac12-\frac{z_2}2=\frac14+\frac{z_2}2+\frac{(z_2)^2}4/4$
$-2-2z_2=1+2z_2+(z_2)^2$
$z_2^2+4z_2+3=0$ $D=4$
$z_2(1),z_2(2)=\frac{-4\pm2}2$
$z_2(1)=-1$ $z_2(2)=-3$
$z_1(1)=0$ $z_1(2)=1$
$P=\{-i;1-3i\}$

Dana1 · 28. 03. 2011 22:44 — Editoval Dana1 (28. 03. 2011 22:58)

↑ ExSh00t:

Druhý riadok:

$+z_2^2i^2 = -z_2^2$

ExSh00t

$(z_1-z_2i)=(z_1+z_2i)^2$
$z_1-z_2i=z_1^2+2z_1.z_2i+z_2^2i^2$
$z_1+i(-z_2)=z_1^2-z_2^2+i(2z_1.z_2)$
$=>$
$(1)z_1=z_1^2-z_2^2$
$(2)-z_2=2z_1.z_2=>z_1=-\frac12$
$(1)-\frac12=\frac14-z_2^2$
$z_2^2=\frac34$
$z_2=\pm\frac{\sqrt{3}}2$
$z=-\frac12+\frac{\sqrt{3}}2i$ $\vee$
$z=-\frac12-\frac{\sqrt{3}}2i$
$P=\{-\frac12+\frac{\sqrt{3}}2i;-\frac12-\frac{\sqrt{3}}2i\}$

Je to správne? Wolfram ukazuje úplne niečo iné a ešte k tomu 2 výsledky, moc mi robí problémy tento príklad.

Dana1 · 31. 03. 2011 20:55

$(1)\frac12=\frac14-z_2^2$ Nechýba na ľavej strane mínus?

ExSh00t · 31. 03. 2011 21:15

Už som to editnul, stále zle?

Dana1 · 31. 03. 2011 21:19 — Editoval Dana1 (31. 03. 2011 21:21)

↑ ExSh00t:
$\wedge$ asi má byť alebo - a nechýbajú Ti tam i ? Mala by sa dať urobiť klasická skúška - ten Wolfram to má ozaj dáko divoko...

A neviem, či nevypadlo nejak0 riešenie po ceste...

ExSh00t

Tá skúška je nejaká divná, moc tomu ani nerozumiem, lebo v živote som ešte nerobil skúšku u komplexných, ale aj tka mi pripadá, že tie korene nevýjdu.. Tak som porovnal výsledok wolframu a môj a myslím, že to mám dobre, len proste počítač to nechal v nejakom zložitom tvare, hneď pridám metodický postup.

EDIT:
WOLFRAM:
$z_1=\frac12(-2iz_2-\sqrt{1-8iz_2}+1) [1]$ $\vee$
$z_1=\frac12(-2iz_2+\sqrt{1-8iz_2}+1) [2]$
-vybral som si riešenie [1] a $z_2=+\frac{\sqrt{3}}2$ ;
-dosadil moje $z_2$
-a porovnal do rovnosti $z_1=z_1$
$\frac12(-\sqrt{3}i-\sqrt{1-4\sqrt{3}i}+1)=-\frac12$ $/*2;+1;+\sqrt{1-4\sqrt{3}i}$
$-\sqrt{3}i+2=\sqrt{1-4\sqrt{3}i}$ $/()^2$
$3i^2-4\sqrt{3}i+4=1-4\sqrt{3}i$
$3i^2+4=1$
$-3+4=1$
$1=1$ true

Dana1 · 31. 03. 2011 22:05

$-\sqrt{3}i+\color{red}2\color{black}=\sqrt{1-4\sqrt{3}i}$

Má tam byť číslo 2?

ExSh00t

J ja som tam zabudol 1 predtým ako som to prepisoval, editnuté...
$\frac12(-\sqrt{3}i-\sqrt{1-4\sqrt{3}i}+1)=-\frac12$
$-\sqrt{3}i-\sqrt{1-4\sqrt{3}i}+1=-1$

zdenek1 · 31. 03. 2011 22:14

↑ ExSh00t:
$(2)-z_2=2z_1.z_2=>z_1=-\frac12$ nebo $z_2=0$

ExSh00t

$(2)$
$z_2=-2z_1.z_2$
$z_2=-\frac{z_2}{2z_1}$
$-2z_1.z_2=-\frac{z_2}{2z_1}$ $/*2z_1$
$-4z_1^2.z_2=-z_2$
$4z_1^2.z_2-z_2=0$
$z_2(4z_1^2-1)=0$
A) $z_2=0$
B) $4z_1^2-1=0$
$z_1^2=\frac14$
$z_1=\pm\frac12$
-nemá byť v tom prípade ešte $+\frac12$
-už som z toho príkladu úplne mimo, ako som mal vedieť, že $z_1$ má toľko možností, z toho predsa výjdu ďalšie ak budem dosádať $0$ a $+\frac12$

EDIT:
#dosadenie $z_1=+\frac12$ do (1)
$\frac12=\frac14-z_2^2$
$z_2^2=-\frac14$
$z_2=\frac12i$
$z=z_1+z_2i$
$z=\frac12+\frac12i^2=0$ (ďalšia možnosť?)
#dosadenie $z_2=0$ do (1)
$z_1=z_1^2=>$
$z_1=1$
$z=1$

$P=\{0;1;-\frac12+\frac{\sqrt{3}}2i\;-\frac12-\frac{\sqrt{3}}2i\}$
-pre 1 a 0 skúška určite platí, ešte tie 2 treba overiť, to nie je normálnejší spôsob na počítanie? Lebo som sa musel pozrieť na tie rovnice aspoň z 5 uhlov, aby som vyvodil riešenia a možno nie sú všetky.

EDIT2: po skúške platia všetky 4 riešenia...

Dana1 · 31. 03. 2011 22:56 — Editoval Dana1 (31. 03. 2011 22:59)

↑ ExSh00t:

To sa Ti len tak zdá - nemôžeš iba tak deliť nejakým číslom, keď nepoznáš jeho hodnotu. Keby si si to uvedomil, hneď by si prišiel na tie reálne korene.

(delil si číslom $z_2$ ).

Toto neviem, odkiaľ vzniklo...

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Keď $z_2\neq0$ , tak platí ten Tvoj prvý postup - aspoň si myslím, že už by to malo byť...

Len ešte : $P=\{0;1;-\frac12+\frac{\sqrt{3}}2i\color{red};\color{black}\;-\frac12-\frac{\sqrt{3}}2i\}$ :-) ...

Ale som s.r.o. ...

ExSh00t · 31. 03. 2011 23:08

: ) a odkiaľ mám vedieť, či $z_2=0$ môže platiť? Či si to mám len skúsiť do rovnice? Môže sa stať napr., že tú 0 uvažovať nebudem? Aspoň tak som to pochopil treba si uvedomiť, že som delil neznámym číslom (s podmienkou, že je nenulové), vyskúšam ešte či môže byť nulové $-1.0=0$ , čiže rátam s týmito dvomi možnosťami. A čo ten reálny koreň 1? (ten som získal cez to moje trošku zdlhavé vyvodzovanie vyššie, za predpokladu, že $z_1=+\frac12$ )

ExSh00t

Hento vzniklo z rovnice (2), tá znie:
$-z_2=2z_1.z_2$ (sú tam 2x $z_2$ , tak sa dá asi aj 2x vyjadriť)

ľavé $z_2$ :
$z_2=-2z_1.z_2$
pravé:
$z_2=-\frac{z_2}{2z_1}$
-no a to čo si napísala ty je porovnanie tých 2 $z_2$

Dana1 · 31. 03. 2011 23:29

↑ ExSh00t:

Takéto rovnice sa riešia prevedením všetkých neznámych na 1 stranu (=0) a vyňatím...

Mne vyšla jednotka tak, že som uvažovala $z_2=0, \rightarrow z_1=z_1^2 \rightarrow 0=z_1(z_1-1)$

ExSh00t · 31. 03. 2011 23:35

Díky moc : )

Matematické Fórum

#1 28. 03. 2011 22:38 — Editoval ExSh00t (28. 03. 2011 22:50)

Komplexné čísla (overenie)

#2 28. 03. 2011 22:44 — Editoval Dana1 (28. 03. 2011 22:58)

Re: Komplexné čísla (overenie)

#3 31. 03. 2011 19:35 — Editoval ExSh00t (31. 03. 2011 21:26)

Re: Komplexné čísla (overenie)

#4 31. 03. 2011 20:55

Re: Komplexné čísla (overenie)

#5 31. 03. 2011 21:15

Re: Komplexné čísla (overenie)

#6 31. 03. 2011 21:19 — Editoval Dana1 (31. 03. 2011 21:21)

Re: Komplexné čísla (overenie)

#7 31. 03. 2011 21:37 — Editoval ExSh00t (31. 03. 2011 22:16)

Re: Komplexné čísla (overenie)

#8 31. 03. 2011 22:05

Re: Komplexné čísla (overenie)

#9 31. 03. 2011 22:10 — Editoval ExSh00t (31. 03. 2011 22:11)

Re: Komplexné čísla (overenie)

#10 31. 03. 2011 22:14

Re: Komplexné čísla (overenie)

#11 31. 03. 2011 22:32 — Editoval ExSh00t (31. 03. 2011 23:16)

Re: Komplexné čísla (overenie)

#12 31. 03. 2011 22:56 — Editoval Dana1 (31. 03. 2011 22:59)

Re: Komplexné čísla (overenie)

#13 31. 03. 2011 23:08

Re: Komplexné čísla (overenie)

#14 31. 03. 2011 23:10 — Editoval ExSh00t (31. 03. 2011 23:20)

Re: Komplexné čísla (overenie)

#15 31. 03. 2011 23:29

Re: Komplexné čísla (overenie)

#16 31. 03. 2011 23:35

Re: Komplexné čísla (overenie)

Zápatí