Matematické Fórum

Bilbo · 19. 05. 2008 02:55

Ahoj, potřeboval bych poradit s dalšími příklady z anal. geometrie, tady je první:

Rovina procházející bodem A = [3,-1,0] kolmá na průsečnici rovin x + y + z - 2 = 0, 2y - z - 1 = 0 má parametrické rovnice (r,s jsou reálné parametry)?

Má to vyjít:
x = 3 + r + s
y = -1 + 3r + s
z = s

Díky!!

Olin · 19. 05. 2008 09:23

Jestliže vektorově vynásobíme normálové vektory zadaných rovin, dostaneme směrový vektor jejich průsečnice. Protože hledaná rovina je kolmá na průsečnici, bude tento směrový vektor jejím normálovým vektorem. Dosazením zadaného bodu A pak zjistíme obecnou rovnici hledané roviny, kterou už jen převedeme na parametrické.

Bilbo · 19. 05. 2008 14:57

Díky, zhruba tady někde jsem se dostal, ale skysnul jsem právě na tom převodu obecné rovnice roviny na parametrickou. Nemohl bys mi ještě prosím napsat, jak na tohle?
Všude na netu nacházím jenom postupy z parametrické do obecné.

kubistation · 25. 04. 2009 18:35

Ahojky mám prosbu, zabývám se analytikou v prostoru a mám z toho dobrý zmatek. 1)Když chci napsat rovnici přímky, která je kolmá na rovinu, tak se normálový vektor roviny bude rovnat směrovému vektoru přímky? A jakto?
2) Když chci zjistit, jestli je přímka rovnoběžná s rovinou a nebo jí náleží, jakto že jejich vynásobený směrový vektor přímky a normálový roviny se má = 0? Vzdyt odchylka, coz by bylo 90 stupnu v pripade kolmosti se pocita sinem a ten se rovna v 90 stupnich 1.
Dík moc za vysvětlení

marnes · 25. 04. 2009 21:51

↑ kubistation:
1) Normálový vektor je vektor kolmý na rovinu. Směrový vektor určuje směr přímky a jestli tedy je přímka kolmá k rovině, tak normálový vektor roviny je právě tím směrovým vektorem přímky.
2) Opět si vem papír a dvě tužky. Jedna tužka - červená - je kollmo na papír a určuje normálový vektor roviny. Druhou tužku - modrou -dej rovnoběžně s rovinou. Jaký je úhel mezi červenou a modrou??? 90 st:-) Ale pozor, to je úhel mezi normálovým vektorem roviny a směrovým přímky. Ale ta modrá tužka je rovnoběžná s rovinou!! A to násobení? Tomu se říká skalární součin a platí, je-li skalární součin roven nule pak jsou na sebe přímky kolmé.

kubistation · 26. 04. 2009 11:31

Dík moc za pomoc, ale ještě si stále neporadím s těmito příklady: :-(
1) Určete rovnici přímky p, která prochází bodem A[4,-12,0] a je kolmá na přímku q: x=1+2k , y=-4-k, z=2-2k (k je z R)
2) Určete vzájemnou polohu rovin, případně průsečnici, vzdálenost, odchylku.. alfa: 9x + 2y + 2z - 11=0 , beta: 6x -y + 6z + 8 = 0
3) Vypočti výšku trojbokého jehlanu ABCV z vrcholu V k podstavě ABC: A[-1,2,1] B[-1,10,-4] C[2,-2,5] V[1,5,5]

marnes · 26. 04. 2009 11:49

↑ kubistation:
3) Vytvoř si rovnici roviny ABC a pak vzdálenost bodu od roviny - to je vzorec

marnes · 26. 04. 2009 12:11 — Editoval marnes (26. 04. 2009 12:12)

↑ kubistation:
2) Určete vzájemnou polohu rovin, případně průsečnici, vzdálenost, odchylku.. alfa: 9x + 2y + 2z - 11=0 , beta: 6x -y + 6z + 8 = 0

jelikož normálový vektor alfa není k násobek NV beta, tak jsou ruznoběžné a mají průsečík - přímku -průsečnici
tuto průsečnici najdeme tak, že řešíme soustavu a za některou z proměnných x,y,z zvolíme parametr t
9x + 2y + 2z - 11=0
6x -y + 6z + 8 = 0

9x + 2y + 2z - 11=0
12x -2y + 12z + 16 = 0

21x + 23z = 5

21x=5 - 23z za parametr zvolím z=t
5-23t
x=-------------
21

5-23t
x=-------------
21

y= dopočítat dosazením do jedné rovnice za x a z

z=t

Takže máme parametrické vyjádření průsečnice

Úhel mezi rovinami je vlastně úhel mezi normálovými vektory - použiješ vzorec pro odchylku přímek

marnes · 26. 04. 2009 12:17

↑ kubistation:
1) Určete rovnici přímky p, která prochází bodem A[4,-12,0] a je kolmá na přímku q: x=1+2k , y=-4-k, z=2-2k (k je z R)

- vytvoříme si rovinu, která prochází přímkou q a bodem A. K tomu potřebuju dva směrové vektory. Jeden vyčtu z rovnice přímky (2;-1;-2) a druhý vutvořím z bodu A a bodu, který leží na přímce q a vyčtu ho z rovnice přímky q 1;-4;2

- vektorovým součinem vytvořím normálový vektor roviny a tento normálový vektor je vlastně směrovým vektorem přímky, která je kolmá k zadané q a už jen napíšu param. rovnice přímky

kubistation · 26. 04. 2009 12:46

Super, moc mi to pomohlo, děkuju:-)))

Matematické Fórum

#1 19. 05. 2008 02:55

Analytická geometrie přímek a rovin

#2 19. 05. 2008 09:23

Re: Analytická geometrie přímek a rovin

#3 19. 05. 2008 14:57

Re: Analytická geometrie přímek a rovin

#4 25. 04. 2009 18:35

Re: Analytická geometrie přímek a rovin

#5 25. 04. 2009 21:51

Re: Analytická geometrie přímek a rovin

#6 26. 04. 2009 11:31

Re: Analytická geometrie přímek a rovin

#7 26. 04. 2009 11:49

Re: Analytická geometrie přímek a rovin

#8 26. 04. 2009 12:11 — Editoval marnes (26. 04. 2009 12:12)

Re: Analytická geometrie přímek a rovin

#9 26. 04. 2009 12:17

Re: Analytická geometrie přímek a rovin

#10 26. 04. 2009 12:46

Re: Analytická geometrie přímek a rovin

Zápatí