Matematické Fórum

JamesS · 31. 03. 2011 11:56

Zdarte,
nějak se nemůžu dopočítat v tomto příkladě :-/

Určete potenciál a velikost intenzity elektrického pole na ose kruhového kotouče o poloměru R nabitého s plošnou hustotou náboje $\sigma$ .

Tak potenciál celkem nebyl žádný problém, ale ta intenzita...
tady je můj postup:
$\vec{E}=\frac{Q}{4\pi\epsilon r^2}\\ \vec{E}=\frac{\sigma\cdot S}{4\pi\epsilon (r^2+h^2}\\ \vec{E}=\frac{\sigma\int dS}{4\pi\epsilon (r^2+h^2}\\ dS=rd\theta dr\\ \vec{E}=\frac{\sigma\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^Rrdr }{4\pi\epsilon (r^2+h^2}\\ \vec{E}=\frac{2\pi\sigma}{4\pi\epsilon}\int_0^R\frac{rdr}{r^2+h^2}\\ \vec{E}=\frac{2\pi\sigma}{2\cdot4\pi\epsilon}\int_0^R\frac{2rdr}{r^2+h^2}\\ t=r^2+h^2\\ dt=2rdr\\ \vec{E}=\frac{2\pi\sigma}{2\cdot4\pi\epsilon}\int_{h^2}^{R^2+h^2}\frac{dt}{t}\\ \vec{E}=\frac{\sigma}{4\epsilon}\int_{h^2}^{R^2+h^2}\frac{dt}{t}\\ \vec{E}=\frac{\sigma}{4\epsilon} (\ln{(R^2+h^2)}-\ln{h^2})\\ \vec{E}=\frac{\sigma}{4\epsilon} \ln{\frac{R^2+h^2}{h^2}}\\ \vec{E}=\frac{\sigma}{4\epsilon} \ln{(\frac{R^2}{h^2}+1)}\\$

Ale výsledek má být $\frac{\sigma}{2\epsilon}(\pm1-\frac{h}{\sqrt{R^2-h^2}})$

LukasM · 31. 03. 2011 13:25

↑ JamesS:
Zdravim dalsiho jadernaka. Nemam na to moc cas, ale zda se mi, ze scitas velikosti sil, ktere nemaji stejny smer. Nakresli si obrazek, a koukni jestli se nahodou nejake slozky nevyrusi, a jestli by tam nemela pribyt nejaka oprava (asi nejaka goniometricka funkce).

JamesS · 31. 03. 2011 16:32

No, nakonec jsem to udělal jakože
$\vec{E}=-\nabla\varphi\\ \text{Pak ze symetrie plnyne, ze } E=(0,0,E_z)\\ \text{potencial mi vysel } \varphi=\frac{\sigma}{2\epsilon}(\sqrt{R^2+h^2}-|h|)\\ \text{h je ve smeru z, takze derivace podle h}\\ \vec{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon}(\pm 1-\frac{h}{\sqrt{R^2+h^2}})\\$

Ale jeste se musim podivat na to scitani tech intenzit normalne...

LukasM · 31. 03. 2011 16:50

↑ JamesS:
Stejný výsledek jsem dostal výpočtem toho správného integrálu, který by snad měl vypadat takhle:
$E=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\int_0^R\frac{\sigma\cdot 2\pi r}{h^2+r^2}\cdot \frac{h}{\sqrt{h^2+r^2}}\mathrm{d}r$

První zlomek je to co počítáš ty, druhý je vlastně kosinus úhlu, který svírá spojnice těch dvou bodů s osou - to právě zajistí, že sčítáš jen vertikální složky síly - ostatní se vyruší.

Matematické Fórum

#1 31. 03. 2011 11:56

Velikost intenity elektrického pole

#2 31. 03. 2011 13:25

Re: Velikost intenity elektrického pole

#3 31. 03. 2011 16:32

Re: Velikost intenity elektrického pole

#4 31. 03. 2011 16:50

Re: Velikost intenity elektrického pole

Zápatí