Matematické Fórum

janakolarova11 · 04. 10. 2007 13:33

prosím o pomoc: dokažte, že každé těleso F je lineární prostor nad F, vzhledem k sčítání a násobení v F.

Kondr · 04. 10. 2007 18:14

Násobení a sčítání v f označme . a +.
Aby F byl lineární prostor, potřebujemeukázat, že
(F,+) je komutativní grupa (vlastnosti tělesa)
a.(b.c)=(a.b).c -- násobení je asociativní (vlastnost tělesa)
(a+b).c=a.c+b.c -- sčítání + je distributivitu vůči násobení . -- rovněž vlastnost tělesa
a.(b+c)=ab+ac -- to samé
a.1=a -- vlastnost tělesa
0 není 1 -- vlastnost tělesa

Prostě po tělese chceme všechno to, co po lin. prostoru a ještě něco navíc (komutativitu násobení, inverzní prvek násobení).

janakolarova11 · 06. 10. 2007 22:45

děkuji za vyřešení příkladu od Moderátor. Potřebovala bych zřejmě doučování,
Moc bych prosila ješte o jedno řešení: mějme lineární prostor R(Q). Které z čísel 2+druhá odmocnina z 15; druhá odmocnina z12; čtvrtá odmocnina ze3 patří do podprostoru (1; druhá odmocnina ze3). děkuji

Kondr · 08. 10. 2007 17:27

K prvnímu příkladu:
Daný prostor je množinou všech čísel tvaru $a+b\sqrt{3}$ , kde a a b jsou rac. čísla.
Odmocnina z 12 je $0+2\sqrt{3}$ , toto číslo do podprostoru patří.

Předpokládejme, že pro racionální a,b platí
$\sqrt{15}=a+b\sqrt{3}$ , po umocnění
$15=a^2+2ab\sqrt{3}+3b^2$
$15-a^2-3b^2=2ab\sqrt{3}$ *
$\frac{15-a^2-3b^2}{2ab}=\sqrt{3}$
Kdyby byly a i b racionální, bylo by na levé straně racionální číslo, na pravé iracionální, spor.

Předpokládejme, že pro racionální a,b platí
$\sqrt[4]{3}=a+b\sqrt{3}$ , po umocnění
$\sqrt{3}=a^2+2ab\sqrt{3}+3b^2$
$\sqrt{3}(1-2ab)=a^2+3b^2$ *
$\frac{a^2+3b^2}{1-2ab}=\sqrt{3}$
Kdyby byly a i b racionální, bylo by na levé straně racionální číslo, na pravé iracionální, spor.

Menší podvod jsem prvedl v rovnicích označených *, když jsem je dělil výrazem, který může být nulový. V prvním případě to může nastat jen když a=0 nebo b=0, oboje vede hned ke sporu; ve druhém případě a=b=0, opět spor.

Z daných 3 čísel v daném podprostoru leží pouze odmocnina ze 12.