Matematické Fórum

bouchy · 19. 05. 2008 19:16 — Editoval bouchy (19. 05. 2008 19:17)

Zdravím, chtěl bych se jen ujistit:

Podle mě by se mělo eulerovo číslo e^x^2 integrovat jako x^2 * e^x^2 * 2 * x

... ale v sešitě máme e^x^2 * 2 * x

Mate mě to a díky této drobnosti se nemůžu hnout dál z místa. Jak to tedy je správně?

jaca · 19. 05. 2008 19:48

Ahoj tak me to vyslo takhle ale bylo by dobry aby to nekdo potvrdil, protoze si nejsem vubec jista: e^x^2dx zavedeme substituci- x^2=t pak dx=dt/2 pak tedy 1/2 e^t dt = 1/2 e^x^2

Alesak · 19. 05. 2008 20:08

ahoj, sedi to jak zadnice na hrnec, taky my to vyslo 1/2 e^2x

jelena · 19. 05. 2008 20:39

↑ bouchy:

Zdravim :-) je zadani takto?

$(e^x)^2$

Alesak · 19. 05. 2008 20:48

uz sem na to prisel. je rozdil mezi e^(x^2) a (e^x)^2.

↑ jaca:
jak derivujes x^2=t tak ti tam zmizelo x, takze to mas spatne.

zkusil sem to tak, ze e^(x^2) = e^(x*x) = (e^x)^x. pak sem zaved substituci e^x = u, a vyslo mi $\frac{e^{x(x-1)}}{ln(x-1)}$ . muze to tak bejt nebo to mam taky spatne?

jelena · 19. 05. 2008 21:35

↑ Alesak:

Mas pravdu - je to hodne velky rozdil, jak to zapsano. Integral pro tento vyraz $(e^x)^2$ mas udelan uplne dobre.

Ale ta druha varianta zapisu $(e^x)^x$ patri k takovym integralum, co se integruji takovym "zvlastnim zpusobem". Muzes ho zkusit zadat do nejakeho online programu na vypocet a uvidis, co z toho vyleze :-( Bohuzel, neda se pouzit postup, ktery navrhujes.

Doufam, ze tohoto tematu si vsimnou z temat VS nebo to tam posuneme a dostane se lepsiho vysvetleni, nez ktere bych poskytla ja.

Lishaak · 21. 05. 2008 19:03

Takze aby bylo jasno, nejprve funkce $(e^x)^2$ . Zavedeme substituci

y = e^x
dy = e^x dx

potom nam vyjde
$\int e^x \cdot e^x \,dx = \int y \,dy = \frac{y^2}{2} + c = \frac{(e^x)^2}{2} + c$

Co se tyce funkce $e^{x^2}$ , tak tady uz je situace nepomerne slozitjesi. Z teorie vime, za kazda spojita funkce f(x) ma primitivni funkci, tedy existuje funkce F(x), pro kterou plati
F'(x) = f(x).

Jenomze tady je takova potiz. Ne vsechny funkce se daji zapsat jako nejaky vyraz. At uz mame k dispozici jakekoliv mnozstvi takzvanych elementarnich funkci (polynomy, lomenne funkce, logaritmy, goniometricke a cyklometricke funkce, hyperbolometricke funkce a tak dale), porad budou existovat funkce, ktere se nedaji zapsat jako zadny vyraz slozeny z techto elementarnich funkci. (Schvalne zkuste najit takovy zapis napriklad pro funkci, ktera kazdemu racionalnimu cislu priradi jednicku a kazdemi iracionalnimu nulu.)

Funkce primitivni k e^(x^2) je prave pripad takove funkce. Jde tedy o to, ze vysledek existuje ale my ho nemame jak zapsat. Muzeme tedy udelat jedine to, ze tuto nasi novou funkci pridame k nasim elementarnim funkcim. Koho by toto tema vice zajimalo, doporucuju (naprklad na anglicke wikipedii) najit si neco o "error function" a "dawson function", ktere se znaci erf(x) a erfi(x). Kdyz si nechate tento integral spocitat nejakym programem, tak vam pradvepodobne vyda prave vyraz obsahujici takovou funkci.

ttopi · 21. 05. 2008 19:27

Tohle vylezlo
To bude něco podobného tomu, co říká Lishaak

Lishaak · 21. 05. 2008 19:45

Hm, www.quickmath.com rika $\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\operatorname{erfi}(x)$ , to by me zajimalo, proc tam ten ttopiho program ma komplexni argument. To by zase nekdo mohl vysvetlit me...

ttopi · 21. 05. 2008 19:47

U tebe taky vidím $i$ :-)

Lishaak · 21. 05. 2008 19:58

Aha, uz to chapu, ten tvuj programek to vyjadril pomoci erf. To 'i' v mem prispevku je soucast jmena te funkce 'erfi', stejne jako napriklad funkce 'sin'. Ale ta 'erfi' se da vyjadrit pomoci 'erf', tazke ten program to rovnou napsal pomoci erf.

Alesak · 21. 05. 2008 20:39

dik, zkousel sem to integrovat wolframem, a vyslo mi to co rikate.

Lishaak napsal(a):
Schvalne zkuste najit takovy zapis napriklad pro funkci, ktera kazdemu racionalnimu cislu priradi jednicku a kazdemi iracionalnimu nulu.

v polakovy je dukaz ze ta funkce neni spojita v zadnym svym bode, a pisou o ni treba tady. jestli to chapu spravne, mezi kazdejma dvema racionalnima cislama je jedno iracionalni(protoze kdyz by byli treba vedle jednoho iracionalniho dalsi dve iracionalni, znamenalo by to ze je v tom bode spojita, nebo ne?). znamena to teda, ze iracionalnich cisel je stejne jako racionalnich? taky sem nedavno cet o kardinalite, i kdyz jenom hodne zhruba tusim o co de, znamena to taky, ze kardinalita rac. i irac. cisel je stejna?

napada me jeste jedna vec, je pravda ze ta funkce je definovana na R? protoze rac. + irac. daji dohromady R.

Lishaak · 21. 05. 2008 21:02

Alesak napsal(a):
mezi kazdejma dvema racionalnima cislama je jedno iracionalni

Ne. Mezi kazdyma dvema racionalnima cislama je tolik iracionalnich cisel, kolik je jich na cele realne ose.

Alesak napsal(a):
znamena to teda, ze iracionalnich cisel je stejne jako racionalnich?

Ne. Iracionalnich je vic nez racionalnich (je jich tolik, kolik maji reacionalni cisla podmozin).
Racionalnich je stejne jako prirozenych

Alesak napsal(a):
rac. + irac. daji dohromady R.

Ano.

Jinak pokud chces uvazovat nad spojitosti funkci, doporucuju se dobre seznamit s jeji definici. Jsou takove dve hlavni. Te asi nejznamnejsi se rika epsilon-delta definice. Pokud clovek uz neco vi o konvergenci posloupnosti, casto se hodi take Heineho definice spojitosti.

Lide jako Saturday umi na tohle tema urcite doporucit nejakou kvalitni literaturu.

Alesak · 21. 05. 2008 21:24

↑ Lishaak:
na tu spojitost budu muset jeste kouknout, bral sem to tak ze si muzu zvolit jakkoliv maly okoli bodu, a kdyz mezi dvema racionalnima je nekonecne iracionalnich cisel, tak tam bude ta funkce spojita. ale zase dve racionalni muzou bejt nekonecne blizko u sebe, takze nevim. budu se snazit na to prijit.

Matematické Fórum

#1 19. 05. 2008 19:16 — Editoval bouchy (19. 05. 2008 19:17)

Integrál eulerova čísla

#2 19. 05. 2008 19:48

Re: Integrál eulerova čísla

#3 19. 05. 2008 20:08

Re: Integrál eulerova čísla

#4 19. 05. 2008 20:39

Re: Integrál eulerova čísla

#5 19. 05. 2008 20:48

Re: Integrál eulerova čísla

#6 19. 05. 2008 21:35

Re: Integrál eulerova čísla

#7 21. 05. 2008 19:03

Re: Integrál eulerova čísla

#8 21. 05. 2008 19:27

Re: Integrál eulerova čísla

#9 21. 05. 2008 19:45

Re: Integrál eulerova čísla

#10 21. 05. 2008 19:47

Re: Integrál eulerova čísla

#11 21. 05. 2008 19:58

Re: Integrál eulerova čísla

#12 21. 05. 2008 20:39

Re: Integrál eulerova čísla

Lishaak napsal(a):

#13 21. 05. 2008 21:02

Re: Integrál eulerova čísla

Alesak napsal(a):

Alesak napsal(a):

Alesak napsal(a):

#14 21. 05. 2008 21:24

Re: Integrál eulerova čísla

Zápatí