Matematické Fórum

hessyk · 16. 04. 2011 20:41

ahoj, mam problem s nasledujicim prikladem:
necht B=((1O1),(110),(011)) je ortonormalni baze vzhledem ke skalarnimu soucinu . na R
spocitejte (101) . (111) a (211) . (231)

vim jak to resit ale nemuzu prijit na nasledujici: kazdy z tech vektoru vzhledem k te bazi mi vychazi jinak nez ma
napriklad 211 vzhledem k bazi B ma vyjit 110
z mych poznamek se ma vynasobit 211 kazdy z vektoru te baze B takze: 2x1+1x0+1x1, 1x2+1x1+0x1 atd...ale neyjde mi ten vysledek co ma...poradite mi prosim nekdo?
dekuju moc

OiBobik · 16. 04. 2011 20:58

↑ hessyk:

Nevím, jestli chápu dotaz, ale pokud ti jde o určení souřadnic vektoru vzhledem k bázi B:

Souřadnice vektoru (2,1,1) jsou skutečně (1,1,0). Souřadnice vlastně říkají, kolikrát máš vzít který ten bázový vektor a sečíst to, aby ti vyšel původní vektor (tedy vektor (2,1,1) ).
Přitom platí (2,1,1)=1*(1,0,1)+1*(1,1,0)+0*(0,1,1).

hessyk · 16. 04. 2011 21:48

aha, ale jak to vypocitas kdyz to bude slozitejsi? neexistuje na to nejaky postup nebo neco takoveho?

OiBobik

↑ hessyk:

Jistě, že existuje. ; ))

Máš bázi $(b_1,b_2 \dots b_n)$ (nelekej se, že ji píšu do kulatých a ne do slož. závorek - chci tím jenom naznačit, že je nějakým určitým způsobem uspořádaná), chceš najít souřadnice vektoru a vzhledem k této bázi, hledáš tedy aritmetický vektor $(x_1,x_2 \dots x_n)$ takový, že:

$b_1 \cdot x_1 + b_2 \cdot x_2 + \dots + b_n \cdot x_n=a$

Což je zřejmě nehomogenní soustava n rovnic o n neznámých.

Mimochodem, protože soustava rovnic má řešení právě tehdy, když sloupcový vektor pravých stran je LK sloupcových vektorů nalevo, máš tím zajištěno, že vektor bude mít souřadnice vzhledem k bázi právě tehdy, když patří do prostoru, generovaného danou bází. Navíc, jelikož je hodnost matice dané soustavy n (bázové vektory jsou z definice lineárně nezávislé), pak dimenze řešení bude n-n=0, tedy řešení bude právě jedno - to ti zaručuje jednoznačnost souřadnic vzhledem k bázi. ; ))

Jo a ještě poznámka: V zápisu výše může mást skutečnost, že vektory a skaláry nejsou nijak rozlišeny, tak je potřeba si uvědomit, že b1 ... bn a a jsou sloupcové vektory, x1 ... xn jsou skaláry (jednotlivé složky výsledných souřadnic).

hessyk · 16. 04. 2011 23:55

ja to v tom porad nevidim...mohl bys mi napsat presne jak se to pocita v na tomhle priklade?
ja sem mel za to ze kdyz hledam souradnice vektoru 211 vzhledem k ty bazi B tak pocitam nasledovne:

2x1+1x0+1x1, 1x2+1x1+0x1, 2x0+1x1+1x1 a to je 332 a ma vyjit to 110 a ja porad nevim jak se k tomu v tomhle priklade dopracuju tak, abych nemusel si to vyzkouset ci logicky odvodit...proste jak se to vypocita presne..
diky moc

OiBobik

↑ hessyk:

Tak tedy například vektor (2,1,1) vzhledem k dané bázi B.

Vím, že souřadnice budou tvaru (x1,x2,x3) a že platí:

$(1,0,1)\cdot x_1+(1,1,0)\cdot x_2+(0,1,1)\cdot x_3=(2,1,1)$

Odtud

$1 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3=&2 \text{ (první souřadnice vektoru)}\\ 0 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2 + 1 \cdot x_3=&1 \text{ (druhá souřadnice vektoru)}\\ 1 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 1 \cdot x_3=&1 \text{ (třetí souřadnice vektoru)}$

No a souřadnice vektoru vzhledem k bázi není nic jiného, než řešení této soustavy tří rovnic o třech neznámých.

hessyk · 17. 04. 2011 14:14

ok, dekuju:)

Matematické Fórum

#1 16. 04. 2011 20:41

linearka

#2 16. 04. 2011 20:58

Re: linearka

#3 16. 04. 2011 21:48

Re: linearka

#4 16. 04. 2011 22:25 — Editoval OiBobik (16. 04. 2011 22:36)

Re: linearka

#5 16. 04. 2011 23:55

Re: linearka

#6 17. 04. 2011 01:04 — Editoval OiBobik (17. 04. 2011 01:05)

Re: linearka

#7 17. 04. 2011 14:14

Re: linearka

Zápatí