Matematické Fórum

radeek · 19. 04. 2011 16:12

skalární součin polynomů nejvýše 2. stupně je definován

$(a1x^2 + b1x + c1).(a2x^2 + b2x + c2) = a1.a2 + b1.b2 + 2.c1.c2 + b1.c2 + c1.b2$

a mám najít bázi ortogonálního doplňku k podprostoru $W = <x^2 + 1; x + 1>$

jak bych měl postupoval?

diky

Olin · 19. 04. 2011 16:17

Vyřeš soustavu rovnic
$p \cdot (x^2 + 1) = 0\\ p \cdot (x + 1) = 0$
s neznámou (polynomem) $p$ .

radeek · 19. 04. 2011 22:19

moc tomu nerozumim, jakou roli v tom hraje ten skalarni soucin

a ta soustava, pokud bude $p=0$ tak to bude platit, co z toho plyne?

Olin · 20. 04. 2011 01:04

$p = 0$ je zrovna řešení, které tě spíš nezajímá - je zapotřebí najít nějaké netriviální řešení. Jelikož má celý prostor polynomů max. 2. stupně dimensi 3 a $W$ má dimensi 2, bude mít $W^\perp$ dimensi 1, tedy stačí najít jedno netriviální řešení uvedené soustavy a to už bude bází $W^\perp$ . Možná pomůže dosadit něco jako $p = ax^2 + bx + c$ a rozepsat skalární součiny podle jejich definice - dostane se z toho soustava běžných lineárních rovnic.

Jinou možností je vzít nějaký polynom mimo $W$ , spočítat jeho kolmý průmět na $W$ a ten pak od něj odečíst - opět dostaneme bázový vektor.

radeek · 22. 04. 2011 14:32

takze dostanu

$(ax^2 + bx + c).(x^2 + 1) = 0$
$(ax^2 + bx + c).(x + 1) = 0$

tudiz

$a + b + 2c = 0$
$2b + 3c = 0$

tudiz

$a=-1, b=-3, c=2$

tudiz

$W^T = < -x^2 - 3x + 2 >$

je to spravny postup?

Matematické Fórum

#1 19. 04. 2011 16:12

Báze ortogonálního doplňku

#2 19. 04. 2011 16:17

Re: Báze ortogonálního doplňku

#3 19. 04. 2011 22:19

Re: Báze ortogonálního doplňku

#4 20. 04. 2011 01:04

Re: Báze ortogonálního doplňku

#5 22. 04. 2011 14:32

Re: Báze ortogonálního doplňku

Zápatí