Matematické Fórum

FliegenderZirkus · 21. 04. 2011 10:44

Řešme úlohu: dána funkce $\mathbf{F}:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ , najděte $\mathbf{x^*} \in \mathbb{R}^n$ takové, že $\mathbf{F(x^*)=0}$ . Při použití Newtonovy metody platí věta:

kde $B(\mathbf{x^*};R)=\{\mathbf{y}\in \mathbb{R}^n : || \mathbf{y}-\mathbf{x^*}||\le R\}$ je „koule” o poloměru R a středu x*
a posloupnost (7.4) definuje Newtonovu metodu: $\mathbf{x}^{(k+1)}=\mathbf{x}^{(k)}+\mathbf{\delta x}^{(k)}$ , kde $\mathbf{\delta x}^{(k)}$ je řešením $\mathrm{J}_{\mathbf{F}}(\mathbf{x}^{(k)}) \mathbf{\delta x}^{(k)}=-\mathbf{F}(\mathbf{x}^{(k)})$ . $\mathrm{J}_{\mathbf{F}}(\mathbf{x}^{(k)})$ je Jakobiho matice v daném bodě.

Zajímaly by mě dvě věci:
1) Existuje nějaký výsledek hovořící o velikosti $r$ ?
2) Existují nějaké postačující podmínky pro konvergenci při obecné volbě $\mathbf{x}^{(0)}$ podobně jako při hledání kořene nelineární rovnice jedné proměnné pomocí Newtonovy metody (tečen) ? I kdyby byly velmi přísné...prostě cokoli :)

Ptám se proto, že řeším, jestli na následujícím obrázku, který znázorňuje vliv volby $\mathbf{x}^{(0)}$ na to, ke kterému průsečíku elipsy a sinu Newtonova metoda zkonverguje, lze dobře definovat pojem „obsah červené oblasti” atd.
Obrázek:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Matematické Fórum

#1 21. 04. 2011 10:44

Newtonova metoda pro soustavu nelinearních rovnic

Zápatí