Matematické Fórum

1)
Pokud zbývá 0 zápalek, když je hráč A  na tahu, A prohraje.
Pokud zbývá 1 nebo 2 zápalky, když je hráč B na tahu, B vahraje (odebere je tak, aby žádná nezbyla).
Pokud zbývají 3 zápalky, když je hráč A  na tahu, A prohraje (a? udělá co udělá, zbudou 1 nebo 2 zápalky)
...
když takto budeme pokračovat dál, uvidíme, že
pokud zbývá 3k zápalek, když je hráč A na tahu, A prohraje (po jeho tahu zbude takový počet zápalek, který není dělitelný 3)
pokud zbývá 3k+1 nebo 3k+2 zápalek, když je B na tahu, B vyhraje (odebere je tak, aby jich zbylo 3k)

Pokud je n dělitelné 3, nezávisle na tahu prvního hráče může druhý hrát tak, aby počet zápalek na stole po jeho tahu byl vždy násobek trojky a druhý hráč vyhraje.
Pokud není n dělitelné 3, může první hrát tak, aby počet zápalek na stole po jeho tahu byl vždy násobek trojky a první hráč vyhraje.

2)Sada k závaží může rozlišit 2^k různých stavů (pro každé závaží máme dvě možnosti: dát na váhu nebo nedát na váhu, dle pravidla součinu máme celkem 2.2. ... .2=2^k možností, jak závaží umístit). Jeden z těchto stavů odpovídá váze 0, pomocí k závaží tedy můžeme zvážit nejvýše nenulových hmotností. Proto je-li , potřebujeme alespoň k+1 závaží. Na druhou stranu, je-li , stačí nám k+1 závaží o hmotnostech 1,2,4,8,..., (které z nich použít na zvážení hmotnosti m nám určí zápis čísla m ve dvojkové soustavě).
Z těchto odhadů plyne, že k je dvojkový logaritmus n+1 zaokrouhlený nahoru.

K oběma příkladům jsem napsal pouze výsledky, důkazy je potřeba pro korektnost provést indukcí, ale to jistě zvládneš.