Matematické Fórum

drabi · 28. 04. 2011 19:16

Ahoj,
zkouším počítat další příklady na CVL, ale obávám se, že někde dělám chybu. Prosím zkontrolujte mi to někdo. Díky moc

1. Semínko vyklíčí s pravděpodobností 0,9. Kolik semínek musíme zasadit aby vyklíčilo alespoň 100 semínek s pravděpodobností alespoň 0,95?

$p=0,9$
$x=100$
$EX = 1*0,9 + 0*0,1 = 0,9$
$var X = EX^2 - (EX)^2 = 0,09$
hledáme n, takové že $P(X>100)>0,95$
$P(X>100) = 1 - P(X<100) = 1 - P\left( \frac{\sum_{i=1}^n X_i - nEX}{\sqrt{n var X}} < \frac{x - nEX}{\sqrt{n var X} } \right)= \Phi \left( \frac{x - nEX}{\sqrt{n var X}} \right)> 0.95$
tedy $\Phi \left( \frac{x - nEX}{\sqrt{n var X}} \right) < 0,05 \Rightarrow 0,9n + \Phi^{-1}(0,05)\sqrt{n var X} - x >0 \Rightarrow n>109$
údajně to má vyjít 117 :(

2) Životnost součástky (v hodinách) má exponenciální rozdělení s hustotou
f(x) = (1/10)*exp{-x/10} pro 0<x<inf.
Pomocí CLV řešte následující:
(a) Máme 100 součástek. Jakmile se jedna porouchá, nahradíme ji další. Jaká je pravděpodobnost, že celková životnost bude mezi 900 a 1050 hodinami?
(b) Kolik máme koupit součástek, aby nám celkově vydržely aspoň 600 hodin s pravděpodobností alespoň 95%?

jelikož se jedná o exponenciální rozdělení, potom
$EX = \left( \frac{1}{10} \right)^{-1} = 10$
$var X = \left( \frac{1}{10} \right)^{-2} = 100$
(a)
$P(900 < X < 1050) = P \left( \frac{900- nEX}{\sqrt{n var X}} < \frac{x - nEX}{\sqrt{n var X} } < \frac{1050- nEX}{\sqrt{n var X}} \right) = \Phi \left( \frac{1050 - nEX}{\sqrt{n var X}} \right) - \Phi \left( \frac{900 - nEX}{\sqrt{n var X}} \right) = \Phi(0,5) - 1 + \Phi(1) = 0,5328$
(b)
to je stejné jako předchozí příklad, ale nějak mi to vychází zvláštně, $n>57$

Stýv · 28. 04. 2011 20:05

1) tu nerovnici máš dobře, až výsledek nesedí
2) a) vypadá ok
b) nevypadá ok. stejně jako v prvnim příkladě. nedosazuješ třeba špatně za $\Phi^{-1}(0,\!05)$ ? (mělo by to být -1.644854)

drabi · 28. 04. 2011 20:53

↑ Stýv:
už jsem mezitím na to přišla. teď už to sedí
díky

Matematické Fórum

#1 28. 04. 2011 19:16

kontrola příkladů na CVL

#2 28. 04. 2011 20:05

Re: kontrola příkladů na CVL

#3 28. 04. 2011 20:53

Re: kontrola příkladů na CVL

Zápatí