Matematické Fórum

Označme počet vrabců, hrdliček a holubů po řadě x,y,z. Platí: x+y+z=30, x/3+y/2+2z=30. Z první rovnice si vyjádříme například x. a dosadíme do druhé rovnice, kterou potom dále upravíme a dostaneme takovou soustavu:
x = 30 - (y+z), y = 10*(12-z), ze které je patrné, že z může být pouze 12,11 nebo 10. Pro každé z těchto z dostáváme jednu trojici čísel, která je řešením dané úlohy. (18,0,12); (9,10,11); (0,20,10). Pokud předpokládáme, že od každého druhu koupil aspoň jednoho ptáka, je řešením pouze trojice (9,10,11), tj. koupil 9 vrabců, 10 hrdliček a 11 holubů.

Jak jsme přišli na to řešení? Myslím na každou tu trojici čísel? a vím že vzniklo: y + 10z = 120, to si můžu dovolit všechno přeskupit a vytknout 10?

Z první rovnice si vytknu x:

x = 30 - (y+z)

Druhou rovnici si nejdřív upravím:

x/3+y/2+2z=30   / * 6

2x+3y+12z=180

Pak do ní dosadím to x z první rovnice

2*(30-(y+z))+3y+12z=180
60-2y-2z+3y+12z=180
y+10z=120
tyto následující dva kroky si samozřejmě mohu dovolit
y=120-10z
y=10*(12-z)


mám tedy tyto dvě rovnice
x = 30-(y+z)
y=10*(12-z)

z nemůžu zvolit větší než 12, protože by potom y vyšlo záporně, a trojice s takovým z by nebyla řešením této úlohy.
když zvolím z = 12, dopočítám y=0 a když znám z i y, dopočítám i x = 18

když zvolím z = 11, dopočítám y = 10 a potom i x = 9

když zvolím z = 10, dopočítám y = 20 a potom i x = 0

když zvolím z menší jak 10 dopočítám y, který bude nejméně 30, z toho plyne, že y+z bude větší než 30 a x=30-(y+z) bude záporné, což znamená, že trojice s z menší jak 10 není řešením úlohy.