Matematické Fórum

Lukito · 02. 05. 2011 13:49

Ahoj, mám vyřešit funkci:
nevím si rady s určením zda funkce lichá..

zatím mám tohle :)
D(f) = (-nekonecno, 0) sjednoceno (0, +nekonecno)
Spojitost.. funkce je spojita v I (-nekonecno, 0) a (0, +nekonecno)
sudost jsem vyřešil a vyšlo mi že funkce není sudá
ale u liché mi to nějak nevychází nebo jo, ale nevím jestli to mám dobře..

muj postup: f je licha prave tehdy kdyz f(x) = -f(-x)

$1/x + 4*x^2 = -(1/-x + 4*(-x)^2)$
$1/x + 4*x^2 = 1/x - 4*x^2)$
$8*x^2 = 0$

napr. pro x = 2 plati: 8*2^2 neni rovno 0 ... funkce neni licha.

je můj výpočet správný? děkuju :)

mikee · 02. 05. 2011 14:36

↑ Lukito:
Ano, ukazal si, ze $f(2) \neq -f(-2)$ , z coho uz vyplyva, ze funkcia nie je neparna :)

Lukito · 02. 05. 2011 15:08 — Editoval Lukito (02. 05. 2011 15:29)

děkuju :) u periodické to mám zase takto:

muj postup: funkce je periodicka prave tehdy kdyz f(x) = f(x+t) kde t nesmí být 0

ale: f(0) = f(0+t) kde f(0) neni definovano a f(0+t) definovane je
čili funkce není periodická... je to správně? děkuju :)

a dál bych se chtěl zeptat ohledně ryzí monotonie..
řešil jsem kdy je funkce rostouci podle f´(x) > 0
$-1/x^2 + 8*x > 0$
a vyšlo mi po úpravách tohle: $-1 + 8*x^3 > 0$
ale nevim jak dal.. :( pomohl by někdo? děkuju :)

zkusil jsem to vyřešit, ale asi to je špatně.. nevím. každopádně mohl by mě někdo opravit? :)
moje řešení:
$8*x^3 - 1 > 0$
D = -4*a*c = 32
x1 = - odmocnina(32) / 16
x2 = odmocnina(32) / 16

jelena · 02. 05. 2011 21:50

↑ Lukito:

Zdravím,

fukce je $f(x) = \frac{1}{x} + 4x^2$

1. derivace je $f^{\prime}(x) = -\frac{1}{x^2} + 8x$ , úpravy (za předpokladu def. oboru jsou v pořádku)

$8x^3 - 1 > 0$ provedeš rozklad dle užitečného vzorce 2.2 $(2x)^3 - 1^3 > 0$ a to už se podaří.

NEperiodičnost již plyne, že def. obor nejsou všechna R, ale i tak, jak dokazuješ, může být.

Používej, prosím pro kontrolu online nástroje z úvodního tématu sekce VŠ, doporučuji MAW. Ať se vede.

Lukito · 03. 05. 2011 15:32 — Editoval Lukito (04. 05. 2011 09:52)

↑ jelena:
děkuju :) tak jsem se to pokusil dopočítat a vyšlo mi následující.. můžu poprosit o kontrolu?

$(2x)^3 - 1^3 > 0$
dle uzitecneho vzorce:
$(2x-1)(4x^2+2x+1)>0$
$2x-1 = 0$
$x = \frac12$
pro:
$4x^2+2x+1 = 0$
Diskriminant nelze urcit kvuli zapornemu znamenku
cili u rostouci funkce je
$D(f) = (\frac12, \infty)$

$f(x)$ je rostouci na intervalu $<\frac12, \infty)$

u klesajici funkce je
$D(f) = (-\infty, \frac12)$
$f(x)$ je klesajici na intervalu $(-\infty, \frac12>$

je to správně? děkuju

jelena · 03. 05. 2011 15:59

↑ Lukito:

Děkuji, nulový bod 1. derivace x=1/2 je nalezen dobřé. Interval, na kterém je funkce rostoucí - také.

u klesajici funkce je
$D(f) = (\infty, \frac12)$
f(x) je klesajici na intervalu $(\infty, \frac12>$

Zřejmě máš na mysli, funkce je klésající na intervalu $(-\infty, \frac12)$ . Ovšem je třeba zohlednit, že def. obor neobsahuje hodnotu x=0.

Opravíš si to, prosím?

Ještě se podívej do vaších materiálů - zda interval má mít ostrou závorku i v hodnotě 1/2 (jen pro pořádek).

Lukito · 04. 05. 2011 09:59

↑ jelena:

jej děkuju, už jsem ta znamenka opravil :) ale stejně to pořád není dobře, až teď možná :)

čili vyšlo mi to takto :

u klesajici funkce je
$D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, \frac12)$
$f(x)$ je klesajici na intervalu $(-\infty, 0) a (0, \frac12>$

je to správně? děkuju :)

my používáme ostré závorky kvůli spojistosti funkce
děkuju za upozornění s tou nulou :)

jelena · 04. 05. 2011 10:24

↑ Lukito:

děkuji. Zda je to dobře, překontroluj, prosím, v MAW (viz úvodní téma sekce VŠ).

Jen bych to napsala, že 1. derivace nabývá záporných hodnot pro $x\in $-\infty, 0$ \cup $0, \frac12$$ , označení $D(f)$ se mi zdá takové nevhodné na tomto místě.

Potom je f(x) klésající na intervalech, jak jsi napsal.

Děkuji za závorky

Lukito · 04. 05. 2011 11:45

↑ jelena:
dobře děkuju :)

takze shrnutí:
a) f je rostouci:
$x\in $\frac12, \infty$$
$<\frac12, \infty)$

b) f je klesajici:
$x\in $-\infty, 0$ \cup $0, \frac12$$
$(-\infty, 0) a (0, \frac12>$
-----------------------------------------------------------------------------------
c) dale jsem se pokusil vyresit lokalni extremy funkce a vyslo mi:
$f^{\prime}(x) = -\frac{1}{x^2} + 8x$
$x_0&=\frac12$
$f^{2}(x) = \frac{2}{x^3} + 8$
$f^{2}(x_0&) = 24 > 0 \Rightarrow$ v bode $(x_0&)$ ma funkce lok. minimum, lok. maximum neni

d) konvexita a konkavnost
$f^{2}(x) > 0$
$\frac{2}{x^3} + 8 > 0$
$8x^3 > -2$
$x > -\frac14 \Rightarrow$ funkce je konvexni na I $$-\frac14, 0$ a $0, \infty$$ nevim jestli spis nema byt sjednoceni :/
$f^{2}(x) < 0 \Rightarrow$ funkce je konkavni na I $$-\infty, -\frac14$$

myslíte. že je to správně? děkuju :)

jelena · 04. 05. 2011 12:26

zapisuji to asi tak:
1. derivace nabývá kladnou hodnotu na intervalu: $x\in $\frac12, \infty$$
funkce f(x) je rostoucí na $<\frac12, \infty)$

1. derivace nabývá zápornou hodnotu na $x\in $-\infty, 0$ \cup $0, \frac12$$
funkce f(x) je klésající na $(-\infty, 0) a (0, \frac12>$

A (NE znak sjednocení) v zápisu je dobře, protože řekl vážená autorita kolega Pavel

-----------------------------
Lokální minimum - v pořádku, neexistence lok. max. - také.

-----------------------------
řešení této nerovnice se mi nezdá v pořádku: $\frac{2}{x^3} + 8 > 0$ , přepís na $\frac{2+8x^3}{x^3}>0$ , rozklad dle již znamého vzorce:

$\frac{2$1+\(x\sqrt[3]{4}$^3\)}{x^3}>0$

Řešíme nerovnici v podílovém tvaru, tedy není možné násobení celé rovnice $x^3$ , pokud neznáme znaménko jmenovatele. Viz Pavlův příspěvek č. 5.

Potom budou jiné závěry ohledně konvex - konkáv (alespoň si to myslím).

Sjednocení (v zápisu intervalů) nemá být - už jsem psala odkaz.

Bylo by velmi dobré, pokud bys u každého kroku zhodnotil, zda se shoduješ s MAW (upřednostňuji :-) nebo s Wolfram.

Snad tak.

Lukito · 04. 05. 2011 18:27 — Editoval Lukito (04. 05. 2011 18:28)

↑ jelena:
děkuji :)

takze dle znameho vzorce jsem to dopocital a vyslo mi:
$\frac{2$1+\(x\sqrt[3]{4}$^3\)}{x^3}>0$
$\frac{2(1-x\sqrt[3]{4})(1+x\sqrt[3]{4}+(x\sqrt[3]{4})^2)}{x^3} > 0$
$(1-x\sqrt[3]{4}) = 0$
$x = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

Potom podle Pavla jsem si urcil znamenko a to tak ze jsem si z intervalu $(\frac{1}{\sqrt[3]{4}}, \infty)$
vybral napr. 1 a dosadil do zlomku a vyjde mi:
$\frac{2(1-x\sqrt[3]{4})(1+x\sqrt[3]{4}+(x\sqrt[3]{4})^2)}{x^3} = -6$

cili znamenko je zaporne a ja znam kriticky bod, ktery je:
$x = -\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

postupuji správně? :/ jestli ne, opravte mě prosím? děkuji :)

jo maw i wolfram pouzivam, kontroluji si to :) dekuju

jelena · 04. 05. 2011 18:57

↑ Lukito:

:-) Pokud jsi budoucí ostravský informatik (a to si myslím, že Ano), tak mi není jedno, co bude v regionu.

Zvaliduj si své dílo sam (za pomoci MAW a Wolfram), prosím:

Vstup: $\frac{2$1+\(x\sqrt[3]{4}$^3\)}{x^3}>0$ - v pořadku.

chyba $\frac{2(1-x\sqrt[3]{4})(1+x\sqrt[3]{4}+(x\sqrt[3]{4})^2)}{x^3} > 0$

která se vleče až do nulového bodu (před metodou Pavla) $x = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ .

Metodu Pavla jsi celkem pochopil, ovšem proč pro Tebe není překvapení, že nulový bod před metodou ma jiné znamémko, než po metodě?

Opravuj, prosím.

--------------------
Ostatně místním autorům to také nesedí - vzorec 2.3 je v seznamu užitečných před 2.2 :-)

Lukito · 04. 05. 2011 19:31 — Editoval Lukito (04. 05. 2011 19:48)

↑ jelena:

aha jej :) a co takhle?
$\frac{2$1+\(x\sqrt[3]{4}$^3\)}{x^3}>0$
$\frac{2(4x^3 + 1)}{x^3} > 0$
$(4x^3 + 1) = 0$
$x^3 = -\frac{1}{4}$
$x = -\frac{1}{4^\frac{1}{3}}$

kdyz jsem si to dosadil do zlomku, tak mi vyslo kladne cislo..
tzn ze je funkce konvexni na intervalu:
$(-\frac{1}{4^\frac{1}{3}}, 0) a (0, \infty)$ ?
dekuju za trpelivost :/ :)

jinak fakt nevim :(

oprava: mohu dosazovat jen cisla v intervalu $(-\infty, -\frac{1}{4^\frac{1}{3}})$ cili napr. -1.. po dosazeni mi vyjde 6, to je kladne.. konvexivita byla prokazana hm?

jelena · 04. 05. 2011 19:43

Kladné číslo v tomto zlomku $\frac{2$1+\(x\sqrt[3]{4}$^3\)}{x^3}$ mohlo vyjit pouze na intervalu $(0, \infty)$ , protože zde dělíš kladné kladným.

Ale na intervalu $$-\frac{1}{4^\frac{1}{3}}, 0$$ jmenovatel bude záporný, čitatel kladný, na tomto intervalu 2. derivace je záporná.

Souhlasí?

Lukito · 04. 05. 2011 20:05

↑ jelena:

aha mate pravdu, ja jsem to spatne dosadil.. :/
dobre takze kdyz je zaporna znamena to, ze je funkce konvexni jen na intervalu $(0, \infty)$ ano? :)

jelena · 04. 05. 2011 20:15

↑ Lukito:

Zrekapitulujeme metodu Pavla:

nulový bod pro čitatel je $x = -\frac{1}{4^\frac{1}{3}}$
nulový bod pro jmenovatel je $x=0$ ,

Definiční obor se tedy rozdělil na 3 intervaly:

$$-\infty, -\frac{1}{4^\frac{1}{3}}$$ - to jsme ještě nezvladli

$$-\frac{1}{4^\frac{1}{3}}, 0$$ - to už jsme zvladli, zde je 2. derivace záporná, funkce konkávní.

$$0, +\infty$$ - to už jsme zvladli, zde je 2. derivace kladná, funkce konvexní

Tedy jsme už toho víc zvladli, než nezvladli. Vyšetří prosím znaménko 2. derivace na intervalu $$-\infty, -\frac{1}{4^\frac{1}{3}}$$ .

Děkuji.

Lukito · 04. 05. 2011 20:26 — Editoval Lukito (04. 05. 2011 20:28)

↑ jelena:

jej zapomnel jsem vam rict ze jsem si opravil vyse prispevek :) mam tam vyresen ten interval... dam ho znovu sem :)

$$-\infty, -\frac{1}{4^\frac{1}{3}}$$ - 2. derivace je kladna cili funkce je na tomto intervalu konvexni.

intervaly konvexity a konkavnosti jsou timto vyreseny ano? :P

jelena · 04. 05. 2011 20:32

↑ Lukito:

:-) vyřešeny. Můžeš sledovat hokej.

Lukito · 04. 05. 2011 20:39

↑ jelena:

jeeej děkuju moc :D mno na hokej se budu dívat jen letmo, chci dodelat jeste asymptoty a graf :) mno nic, jdu na to :)

p.s. češi do toho! :)

Matematické Fórum

#1 02. 05. 2011 13:49

Průběh funkce

#2 02. 05. 2011 14:36

Re: Průběh funkce

#3 02. 05. 2011 15:08 — Editoval Lukito (02. 05. 2011 15:29)

Re: Průběh funkce

#4 02. 05. 2011 21:50

Re: Průběh funkce

#5 03. 05. 2011 15:32 — Editoval Lukito (04. 05. 2011 09:52)

Re: Průběh funkce

#6 03. 05. 2011 15:59

Re: Průběh funkce

#7 04. 05. 2011 09:59

Re: Průběh funkce

#8 04. 05. 2011 10:24

Re: Průběh funkce

#9 04. 05. 2011 11:45

Re: Průběh funkce

#10 04. 05. 2011 12:26

Re: Průběh funkce

#11 04. 05. 2011 18:27 — Editoval Lukito (04. 05. 2011 18:28)

Re: Průběh funkce

#12 04. 05. 2011 18:57

Re: Průběh funkce

#13 04. 05. 2011 19:31 — Editoval Lukito (04. 05. 2011 19:48)

Re: Průběh funkce

#14 04. 05. 2011 19:43

Re: Průběh funkce

#15 04. 05. 2011 20:05

Re: Průběh funkce

#16 04. 05. 2011 20:15

Re: Průběh funkce

#17 04. 05. 2011 20:26 — Editoval Lukito (04. 05. 2011 20:28)

Re: Průběh funkce

#18 04. 05. 2011 20:32

Re: Průběh funkce

#19 04. 05. 2011 20:39

Re: Průběh funkce

Zápatí