Matematické Fórum

wilzef · 05. 05. 2011 14:44

Čau.

Mám určit, zda je posloupnost $\frac{-1}{n}$ , pro n=1 a jdoucí do nekonečna omezená.

když udělaám výčet prvků, tak zjistím, že je omezená shora číslem -1, potom následují hodnoty jako -1;-0,5;-0,33;-0,25 a tak dál.

Jak mám určit přesně dolní mez? A kdyby nastal případ (teď neuvažujte zadání), že by horní mezí bylo číslo -10, jak určím dolní mez? A jde vůbec určit?

Díky moc!

OiBobik

↑ wilzef:

Pozn: tobě jde (asi?) o určení horní meze (-1 ji omezuje zdola a je taky dolní mez).

Dobré je si všimnout, že libovolný člen posloupnosti bude vždy menší než 0. To zní jako dobrý kandidát na horní mez, ale mohlo by to být třeba i číslo ještě o něco menší než 0. Může takové číslo (tedy nějaké q<0 takové, že pro libovolně velké n je -(1/n)<=q) existovat?

EDIT: ona ta 0 samozřejmě je horní mez (horní závora), resp. omezuje shora tu posloupnost. Vlastně nás v takto zadaném případě nemusí vůbec trápit, že nevíme, jestli neexistuje nějaká menší - stačilo ukázat, že nějaká existuje.

________________________________________________________

Ad druhá část dotazu: Takto položená otázka nemá moc smysl, respektive určitě neplatí (obecně) něco jako že znalost horní meze mi automaticky pomůže zjistit dolní mez a naopak.

wilzef · 05. 05. 2011 15:17

↑ OiBobik:

Jak jsi přišel na to, že bude vždy menší než nula? Limity?

OiBobik

↑ wilzef:

Zkrátka jsem se na to podíval : )) n bude vždy kladné, -1 vždy záporná, podíl záporného a kladného čísla je záporné číslo a tedy menší než 0.

wilzef · 05. 05. 2011 15:42

↑ OiBobik:

Okay, ale při nějakých složitějších zadáních se na to nědá jen kouknout ... to používám pak limity? A díval ses na druhou část mojí otázky?

OiBobik

↑ wilzef:

Jestli umíš a můžeš používat limity, pak omezenost dokážeš vždycky jednoduše: stačí najít limitu posloupnosti, pokud je vlastní (tedy je to nějaké reálné číslo), pak je určitě posloupnost omezená - to plyne přímo z definice limity, ta říká, že pro libovolné $\epsilon > 0$ najdu $n_0$ tak, že pro všechna $n$ vyšší, než toto $n_0$ je odchylka $a_n$ od limity menší než $\epsilon$ - tedy pouze konečně mnoho členů posloupnosti $(\text{tj. }a_1, a_2, a_3 \dots a_{n_0-1}, a_{n_0})$ má od limity větší odchylku, nežli $\epsilon$ - ty ovšem mají maximum a minimum, takže přinejhorším bude posloupnost omezená shora tímto maximem a zdola tímto minimem.

Ve chvíli, kdy ti vyjde, že limita dané posloupnosti je $\pm \infty$ , pak analogicky posloupnost určitě není omezená.

Druhou část otázky jsem četl a výše zodpověděl. Pokud jsem ji pochopil špatně, přeformuluj ji, prosím.