Matematické Fórum

renda · 26. 05. 2008 08:53

Achoj potřebuju ještě prosím pomoct:
a).Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost. Má se určit velikost stran trojúhelníku ,jestliže víme, že poloměr kružnice vepsané má délku 7cm.
b).Potřebuju vypočíst vnítřní úhly šestiúhelníku,tvoří-li velikosti úhlů aritmetickou posloupnost a nejmenší velikost úhlu je 70 stupńů.
c).Nejmenší vnitřní úhel mnohoúhelníku je 117 stupňu, největší 171stupňu. Velikost úhlů tvoří aritmetickou posloupnost.Kolik má mnohoúhelník stran a jak velké má vnitřní úhly?

plisna · 26. 05. 2008 12:33

ad a) pro polomer kruznice vepsane plati $\varrho = \frac{P}{s}$ , kde P je obsah trojuhelniku a $s = \frac{a+b+c}{2}$ . oznacme strany: $a = x, \quad b = x + d, \quad c = x + 2d$ . pak obsah trojuhelniku je $P = \frac{x(x+d)}{2}$ a $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3x+3d}{2}$ . celkem tedy mame $\varrho = \frac{P}{s} = \frac{2x(x+d)}{6(x+d)} = \frac{x}{3}$ , tedy $x = 21$ . diferenci spocteme z pythagorovy vety $21^2 + (21+d)^2 = (21+2d)^2 \qquad \Rightarrow \qquad d = 7$ .

plisna · 26. 05. 2008 12:37 — Editoval plisna (26. 05. 2008 12:38)

ad b) oznacme uhly $70, \quad 70 + d, \quad 70 + 2d, \quad 70 + 3d, \quad 70 + 4d, \quad 70 + 5d$ , velikost vnitrnich uhlu sestiuhelniku je $180^{\circ} \cdot 6 - 360^{\circ} = 720^{\circ}$ , takze mame rovnici $420 + 15d = 720 \qquad \Rightarrow \qquad d = 20^{\circ}$

ttopi · 26. 05. 2008 12:49 — Editoval ttopi (26. 05. 2008 12:59)

podle návodu od plisny zkusím c)
$a_1=117 \nl a_n=171 \nl 180n-360 = \frac{n}{2}\cdot (a_1+a_n) \nl 180n-360=144n \nl n=10 \nl a_10=a_1+9d \nl d=6$

plisno, je to tak? :-)

EDIT: Och děkuji :-)

plisna · 26. 05. 2008 12:58

skvele ttopi! je to tak!

renda · 26. 05. 2008 13:01

děkuju vám ste dobří!:-)

dedina · 03. 06. 2008 13:17

prosím velikosti stran pravoúhlého trojuhelníka tvoří aritm.posl.,jehož prepona má velikost 30cm,vypočtěte délky odvěsen,neumím si odvodit vzorce na a,b,díky

plisna · 03. 06. 2008 14:14

oznacme $a = 30-2d, \quad b=30-d, \quad c=30$ . pak se z pythagorovy vety $(30-2d)^2+(30-d)^2=30^2$ vypocte diference a nasledne velikosti stran.

Cheop · 03. 06. 2008 14:41 — Editoval Cheop (03. 06. 2008 14:41)

Označme:strany trojúhelníka a,b,c

Pak a = b - d (d je diference aritm. posloupnosti)
b = b
c = b + d = 30 z toho plyne b = 30 - d
Trojúhelník je pravoúhlý

(b - d)^2 + b^2 = 900
b^2 -2bd + d^2 + b^2 = 900

Za b dosadíme výraz 30 - d a úpravou dospějeme ke kvadratické rovnici:

d^2 - 36 d + 180 = 0
řešením je
d1 = 30 (to nelze protože přepona je dlouhá 30 strany by byly záporná čísla resp. 0)
d2 = 6
Znamená to, že diference arit. posliöupnosti je d = 6
Pak b = 30 - d = 24
a = 30 - 2d = 30 - 12 = 18

Strany trojúhelníka jsou 18,24,30 cm což je opravdu pravoúhlý trojúhelník

Protože: 18^2 + 24^2 = 30^2

Cheop · 03. 06. 2008 15:02

Úplněna nejjednodušeji to jde vypočítat takto:

Protože se jedná o pravoúhlý trojúhelník a navíc strany tvoří aritm. posloupnost pak takovým trojúhelníkem může být pouze
celočíselný násobek trojúhelníka o stranách 3,4,5
30/5 = 6
celonásobný násobek je tedy 6 a to tedy znamená že další strany budou: 3*6 = 18, a 4*6 = 24

Matematické Fórum

#1 26. 05. 2008 08:53

Aritmetická posloupnost

#2 26. 05. 2008 12:33

Re: Aritmetická posloupnost

#3 26. 05. 2008 12:37 — Editoval plisna (26. 05. 2008 12:38)

Re: Aritmetická posloupnost

#4 26. 05. 2008 12:49 — Editoval ttopi (26. 05. 2008 12:59)

Re: Aritmetická posloupnost

#5 26. 05. 2008 12:58

Re: Aritmetická posloupnost

#6 26. 05. 2008 13:01

Re: Aritmetická posloupnost

#7 03. 06. 2008 13:17

Re: Aritmetická posloupnost

#8 03. 06. 2008 14:14

Re: Aritmetická posloupnost

#9 03. 06. 2008 14:41 — Editoval Cheop (03. 06. 2008 14:41)

Re: Aritmetická posloupnost

#10 03. 06. 2008 15:02

Re: Aritmetická posloupnost

Zápatí