Matematické Fórum

Pedrostroj · 09. 05. 2011 19:30

Zdravim chtel bych se zeptat jestli to co jsem zatim vypocetl mam dobre a jak pokracovat dale protoze mi tam vychazeji zajimave cisla, je mi jasne ze za A B C dosadim ale nevim co stim potom delat dale. Dik

drabi · 09. 05. 2011 20:29 — Editoval drabi (09. 05. 2011 20:31)

↑ Pedrostroj:
Ahoj,
ten rozklad se mi moc nepozdává, mělo by to být takto:
$\frac{3x+1}{x^3-1} = \frac{3x+1}{(x^2x+1)(x-1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx + C}{x^2+x+1}$
pak z toho vypočteš A,B,C
$A = \frac43, B =- \frac {4}{3}, C = \frac13$
takže pak máš integrál v tomto tvaru
$\int \frac{4}{3} \frac{1}{x-1} + \frac{1}{3} \frac{1-4x}{x^2+x+1} dx$
ten první je jasný:
$\int \frac{4}{3} \frac{1}{x-1} dx = \frac43\ln(x-1)$
ten druhý musíš dostat do takového tvaru, aby v čitateli byla derivace jmenovatele (pak je to po integraci logaritmus)
$(x^2+x+1)' = 2x + 1$
pak tedy se ti to roztrhne na dva integrály
$\int -\frac23 \frac{2x+1}{x^2+x+1} + \frac{1}{x^2+x+1} dx$
$\int -\frac23 \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx= -\frac23 \ln{x^2+x+1}$
u druhého uděláš následující: jmenovatel doplníš na čtverec a pak z toho dostaneš arctg:)
$\int \frac{1}{x^2+x+1} dx = \int \frac{1}{(x + \frac12)^2+\frac34} dx$
a jednoduše substitucí doděláš
celkově pak vyjde:
$-\frac23 \ln(x^2+x+1)+\frac43 \ln(x-1)+\frac{2}{3\sqrt{3}} \arctan{\frac{2 x+1}{\sqrt{3}}}+C$
jo a podrobnější kroky najdeš na Odkaz show steps

martanko · 09. 05. 2011 20:33

↑ Pedrostroj: chybu mas v tom rozklade...

$\int \frac{3x+1}{x^3-1} dx =...$ rozoberiem len ten zlomok ostatne by si mohol vediet

$\frac{3x+1}{x^3-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx +C}{x^2+x+1}$ po uprave:

$3x +1 = A(x^2+x+1) + (Bx+C)(x-1)$ teraz riesime sustavu napriklad cez matice...

$A+B=0$
$A-B+C=3$
$A-C=1$ z toho
$A = \frac{4}{3}, B=-\frac{4}{3}, C=\frac{1}{3}$ skus pokracovat... :)

Pedrostroj · 09. 05. 2011 20:36

ok dik moc ted uz mi to konecne dava smysl...a taky uz to vychazi:)

Matematické Fórum

#1 09. 05. 2011 19:30

Integral

#2 09. 05. 2011 20:29 — Editoval drabi (09. 05. 2011 20:31)

Re: Integral

#3 09. 05. 2011 20:33

Re: Integral

#4 09. 05. 2011 20:36

Re: Integral

Zápatí