Matematické Fórum

k.maci · 09. 05. 2011 23:29

Ahoj,

potřeboval bych radu v tomto příkladu: Určete projekci funkce $x^2$ na vektorový prostor, který je zadaný tímto příkladem. Uvažujme reálný vektorový prostor funkcí na intervalu [1, 2] generovaný funkcemi $1/x, 1/x^2, x$ . Pomocí Gramm-Schmidtova ortogonalizačního procesu nalezněte ortogonální i ortonormální bázi tohoto prostoru.

Tento příklad mám vypočítaný, ale nevím jak na tu projekci. Díky za rady!

Rumburak

V podstatě jde o následující princip.

Máme-li reálný vektorový prostor V se skalárním součinem [ . , . ] a v něm podprostor W s ortonormální bází (w_1, ... , w_k) ,

pak ortogonální projekcí vektoru y (z prostoru V) na podprostor W je vektor

(1) $Py = \sum_{j = 1}^k [y, w_j] w_j$ .

V našem případě tedy V bude prostor jakýchsi funkcí definovaných na intervalu [1, 2]. Prostor V je nutno zavést tak, aby do něho patřily
funkce $x^2, 1/x, 1/x^2, x$ . Můžeme V zavést přímo jako lineární obal těchto funkcí. W pak bude podprostor ve V generovaný funkcemi
$1/x, 1/x^2, x$ , tj. jejich lineární obal . V prvé řadě je tedy potřeba nalézt ortonormální bázi (w_1, ... , w_k) podprostoru W , potom už se
jen dosadí do vzorce (1).

Zbývá jeden drobný, leč zásadní problém: jak definovat na prostoru V skalární součin ? Možností je více, jednou z nich (a dokonce tou
nejpravděpodobnější z nich) je

$[u, v] := \int_1^2 u(x)v(x) \,\mathrm{d}x$ .

Toto nebo něco ekvivalentního by mělo být uvedeno v zadání, případně se podívěj na učební látku, ke které se úloha vztahuje.

Matematické Fórum

#1 09. 05. 2011 23:29

Projekce funkce na vektorový prostor

#2 10. 05. 2011 09:55 — Editoval Rumburak (10. 05. 2011 10:10)

Re: Projekce funkce na vektorový prostor

Zápatí