Matematické Fórum

Takto obecná nápověda je spíše pro zmatení nepřítele :o). Řekl bych toto: číslo a končí k nulami, pokud je dělitelné 10^k a není dělitelné 10^(k+1).
Což jde rozepsat takto: číslo a končí k nulami, pokud je dělitelné 2^k a 5^k a přitom není dělitelné 2^(k+1) nebo není dělitelné 5^(k+1).
Přitom víme, že n!=1*2*3* ... *n. Snadno nahlédneme, že je-li n! dělitelné 5^k, je dělitelné i 2^k (s každým dělitelem tvaru 5i má i dělitele 2i). Proto počet nul na konci n! záleží jen na tom, kolikrát se 5 vyskytuje v rozkladu čísla n! na prvočísla. To zjistíme, když budeme uvažovat, kolik čísel v součinu
1*2*...*n je dělitelných 5, kolik z nich je dělitelných 5^2, 5^3...
pokud toto jako nápověda stačilo, měl bys dojít k výsledku 51+10+2=63.

hmm, zkousel sem na to jit zdravim selskym, a rek sem si ze pokazdy kdyz to vynasobim cislem na konci s nulou, tak se mi prida nula, a kdyz to vynasobim cislem ktery ma na konci 2 a cislem ktery ma na konci 5, tak se mi taky prida nula. to je treba 2*5, 12*15, 22*25. potom k tomu musime pricist dvojky, petky, a desitky, ktery tam jeste nejsou(25 = 5*5, 50 = 2*5*5, 75 = 3*5*5...). takovy se daji vyjadrit jako (2k)*2, (5k)*5, a (10k)*10, kde k je prirozeny cislo. protoze dvojky a petky musi bejt v parech, a dvojek je urcite vic nez petek, staci pocitat s petkama. potom (5k)*5 = 25k, a 250 / 25 = 10, takze k = 10, z cehoz plyne ze tam je 10 petek a teda nul ktery musime pricist. jeste pricteme 2 nuly kvuli ze 100 a 200, a dojdeme k cislu jak psal Kondr, 63.

↑ Azeret:S tou dělitelností 10^(k+1) je to spíše formální záležitost. Ukázali jsme, že v tom rozkladu je alespoň 63 pětek. Ale z postupu je jasné, že jich tam je právě 63. Protože rozklad na prvočísla je jednoznačný, není 258! dělitelné 5^64 a tedy ani 10^64.