Matematické Fórum

Domiinika

Tak tady mám (bohužel) ještě jeden -

Určete $a^5 = ?$ , je-li komplexní číslo $a$ dáno v algebraickém tvaru: $a = 2 + i$

... nechápu to zadání, může mi prosím někdo poradit? Šla bych na to normálně - přes absolutní hodnotu $a$ anebo si představit $(2+i)^5$ a to už řešit dle vzorce pro goniometrický tvar resp. mocnina komplex cisla? Nevím si s tím rady, co se po mě vlastně v tom zadání chce? Asi to bude brnkačka, ale já jsem beginner :( (nebo spíše dlouhá léta ze školy) . Děkuji předem za odpovědi. D.

Alivendes

Ahoj :)
takže máme umocnit komplexní číslo:
$(2+i)^5$
Převedeme to radči na goniometrický tvar:
$\sqrt5(\cos26°+i\sin26°)$
Tedka použijeme moiveří větu:

$(cosx+ isinx)^{n}=cosnx+isinnx$

V našem případě:
$[\sqrt5(cos26°+isin26°)]^5=25\sqrt5(cos130°+isin130°)$

Vždycky se to musí umocnovat takhle, přes goniometrický tvar...je to mnohem rychlejší :)

zdenek1 · 14. 05. 2011 08:05

↑ Domiinika:
Postup, který zvolíš bude záviset na tom, k čemu to potřebuješ.

Výpočet přes Moivreovu větu je rychlý, ale musíš nějak určit úhel. Pokud by se jednalo o test, kde nemáš k dispozici kalkulačku, máš v tomto případě neřešitelný problém (a kromě toho úhel uvedený ↑ Alivendes: není přesný, je to 26° 33' 54" - a ani toto není úplně přesně)

Pro malé mocniny můžeš použít binomickou větu
$(2+i)^5=2^5+5\cdot2^4i+10\cdot2^3i^2+10\cdot2^2i^3+5\cdot2i^4+i^5=-38+41i$ přesně

Alivendes · 14. 05. 2011 09:34

↑ zdenek1:
Ano, to je pravda, je to přibližné řešení.

Domiinika · 14. 05. 2011 11:00

Děkuji za opovědi pánové, už vím, jak na to :-)

Matematické Fórum

#1 14. 05. 2011 01:34 — Editoval Domiinika (14. 05. 2011 01:36)

Komplexní čísla

#2 14. 05. 2011 01:55 — Editoval Alivendes (14. 05. 2011 01:55)

Re: Komplexní čísla

#3 14. 05. 2011 08:05

Re: Komplexní čísla

#4 14. 05. 2011 09:34

Re: Komplexní čísla

#5 14. 05. 2011 11:00

Re: Komplexní čísla

Zápatí