Matematické Fórum

Matice zobrazení T je
  4   1   3  1
11  1  13  2
  5   3  -1  2
-13  2 -24 -1
Tuto matici označme A. Matici zobrazení T.T získáme tak, že matici A vynásobíme maticí A.
Jádro zobrazení T je množina vektorů,  které se zobrazí na 0. Řešíme tedy soustavu
4x1 + x2 + 3x3 + x4=0,
11x1 + x2 + 13x3 + 2x4=0,
5x1 + 3x2 − x3 + 2x4=0,
−13x1 + 2x2 − 24x3 − x4=0.
První rovnici odečteme od druhé jednou, od třetí třikrát a od čtvrté dvakrát:
4x1 + x2 + 3x3 + x4=0,
7x1 + 0 + 10x3 + x4=0,
-7x1 + 0 - 10x3 -x4=0,
-21x1 + 0 - 30x3 - 3x4=0.
Vidíme, že čtvrtá a třetí rovnice jsou násobky druhé, můžeme je proto ignorovat.
Pokud x1 zvolíme za parametr t a x3 za parametr u, máme 7
t+10u+x4=0, x4=-7t-10u,
4t+x2+3u-7t-10u=0, x2=7u+3t.
Jádrem jsou tedy všechny vektory (t,7u+3t,u,-7t-10u)=t(1,3,0,-7)+u(0,7,1,-10). Jádro jde tedy zapsat jako <(1,3,0,-7),(0,7,1,-10)>.
Protože jádro obsahuje i nenulové vektory, neexistuje k t zobrazení inverzní (dva různé vektory se v T zobrazí na 0, ale 0 se v T^(-1) nemůže zobrazit na dva vektory). Tím je zodpovězeno b).

Jádro zobrazení T.T se určí stejně, akorát soustava rovnic neodpovídá matici A, ale matici A.A.

Je jedno co zvolíme za parametry. Osobně vybírám to, u čeho jsou jedničkové koeficienty, abych nepracoval se zlomky.

Když je jádro nulové, je matice zobrazení regulární, jde k ní sestavit inverzní matici (matice inverzního zobrazení).