Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 15. 05. 2011 10:24
Druhá derivace funkce...
Zdravím, v tomto topicu bych se spíš rád zeptal, co přesně sledujeme druhou derivací funkce. Pokud prošetřujeme průběh grafu, tak vím, že se tam občas ta druhá derivace dá použít, jen si přesně nevzpomínám k čemu. Vždy jsem maximálně ve svých příkladech použil první na zjištění extrému, a také na zjištění, kdy je funkce rostoucí a kdy klesající a podle toho jsem také zjistil, kdy je extrém maximum a kdy minimum. Co tedy přesně mohu určit pomocí druhé derivace?
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Bawler)
#2 15. 05. 2011 10:30 — Editoval Alivendes (15. 05. 2011 10:30)
Re: Druhá derivace funkce...
Ahoj :)
Pokud je první derivace nulová a druhá derivace záporná, funkce má v bodě lokální maximum.
Pokud je první derivace nulová a druhá derivace kladná, funkce má v bodě lokální maximum.
V místech, kde je druhá derivace nulová, mohou být tzv. inflexní body-funkce se mění z konkávní na konvexní.
Volané číslo je imaginární. Otočte prosím telefon o 90 stupňů a zkuste to znovu.
Offline
#3 15. 05. 2011 10:34
Re: Druhá derivace funkce...
Zjišťujeme konkávnost a konvexnost. Pokud je záporná tak je funkce na intervalu konkávní, pokud je kladná tak je na intervalu konvexní. Pokud je 0 tak se může jednat o inflexní bod.
Offline
#4 15. 05. 2011 10:36
Re: Druhá derivace funkce...
No, já vždy použil první derivaci na zjištění extrému. Potom jsem dosadil do první derivace nějaký bod z předchozího intervalu a potom z následujícího. Když nejdříve funkce rostla a potom začala klesat, tak bylo jasné, že je tam maximum, pokud to bylo naopak tak minimum. Jak bych takto poznal, že se jedná o inflexní bod? Díval jsem se na internetu jak to vlastně vypadá a vypadalo to, jako by ta funkce rostla a potom znovu rostla. A jinak, konvexnost a konkávnost znamená, že funkce roste, nebo klesá v určitém intervalu?
Offline
#5 15. 05. 2011 10:42
Re: Druhá derivace funkce...
↑ Bawler: Když si u první derivace najdeš nulové body a uděláš křížkovou metodu tak pokud se znamínka na sousedních intervalech liší jedná se o extrém. Pokud jsou stejná může se jednat o inflexní bod.
Konkávní funkce: Všechny funkční hodnoty jsou pod tečnou
Konvexní funkce: Všechny funkční hodnoty jsou nad tečnou
Příklad: 
tato funkce je v III kvadrantu konkávní a v I kvadrantu konvexní. V 0 má inflexní bod
Offline
#7 15. 05. 2011 11:02
Re: Druhá derivace funkce...
↑ Bawler: Z první derivace konkávnost ani konvexnost nevyčteš. Existuje analogie: první derivace=rychlost;druhá derivace=zrychlení. Pokud funkce zrychluje graf se "ohýbá nahoru" a naopak
Offline
#9 15. 05. 2011 11:07
- halogan
- Ondřej
- Místo: UK
- Příspěvky: 4528
- Škola: IES FSV UK (09-12, Bc.)
- Pozice: student
- Reputace: 106
Re: Druhá derivace funkce...
Vem si, že g(x) = f'(x), takže f''(x) = g'(x).
To znamená, že ty vlastně zkoumáš monotonii (první derivaci) tvé první derivace. Pokud je tedy sklon (první derivace) rostoucí (kladná druhá derivace), tak se funkce "napřimuje" stále rychleji a rychleji (konvexní), tvar je jako u paraboly x^2 třeba. Pokud je však sklon klesající (záporná druhá derivace), postupně se růst zpomaluje a funkce má takový "obrácený" tvar, třeba 
nebo přirozený logaritmus. Takže funkce sice stále roste, ale stále pomalejším a pomalejším tempem.
Konvexita a konkávnost jsou důležité vlastnosti, pokud ti nejde jen o monotonii, ale zajímá tě i jistá dynamika. Pokud plánuješ studovat ekonomii, bude se to hodit.
Offline