Matematické Fórum

drabi · 15. 05. 2011 11:25

ahoj,
prosím o pomoc s výpočtem poloměru konvergence mocninné řady:
(1)
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3 + (-1)^n)^n}{n} x^n$
(2)
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^n (n!)^2}{(2n + 1)!} x^n$
zkouším klasicky použít $\rho = \limsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{|a_n|}}$
takže u příkladu (1):
$\rho = \limsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{|\frac{(3 + (-1)^n)^n}{n}|}}$
takže počítám $\limsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|\frac{(3 + (-1)^n)^n}{n}\right|} = \limsup_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{3 + (-1)^n}{\sqrt[n]{n}}\right| = 4$
tedy $\rho = \frac14$
u toho příkladu (2) jsem se snažila použít tento postup:
pokud existuje $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$ vlastní
potom $\sum_{n=1}^{\infty} a_n (x)^n$ AK $\Leftrightarrow |x|<\frac1L$ a D $\Leftrightarrow |x|>\frac1L$
tak jsem počítala takto:
$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{(-2)^{n+1} (n+1)!^2}{(2n + 3)!}}{\frac{(-2)^n (n!)^2}{(2n + 1)!}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(-2) (n+1)^2}{(2n + 3)(2n + 2)}=\lim_{n \rightarrow \infty} -\frac{(n+1)}{(2n + 3)} = -\frac12$
$\Rightarrow \rho=2$
nejsem si jistá, zda ty výpočty mám dobře?
prosím velmi o kontrolu
děkuju