Matematické Fórum

tWejn · 17. 05. 2011 19:52

Dobrý podvečer, mám menší problém s jedním příkladem a doufám že mi pomůžete.

Je zadán rovnostranný jehlan (tedy strany složeny z rovnostranných trojúhelníků, podstava potom ze čtverce), ve kterém je koule která se dotýká všech stran a poloměr r (koule). Máme odvodit vzorec pro výpočet objemu jehlanu jenom s pomocí r. Předem děkuji za nějaké popostrčení k řešení tohoto příkladu.

Jan Jícha · 17. 05. 2011 20:23

Ahoj, určitě koukni sem http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=8504

Úloha není stejná ale určitě pomůže obr. od lukaszh

tWejn · 17. 05. 2011 21:04

Díky, už jsem to vyřešil :) Šlo o umístění středu kružnice vepsané (v případě rovnoramenného jehlanu a tedy trojúhelníku je ve 2/3 výšky - tedy výška = 3r)

zdenek1 · 17. 05. 2011 23:01

↑ tWejn:
To se ale hluboce mýlíš

Na obrázku je řez jehlanem
$AP=AT=\frac a2$ $a$ je délka hrany podstavy
$AB=\frac{\sqrt3a}2$ - výška bočního trojúhelníka
z Pythagorovy věty $BP^2=AB^2-AP^2$
$BP^2=\frac{3a^2}4-\frac{a^2}4$
$BP=\frac{\sqrt2a}2$

Další Pythagorova věta v tr. $TBS$
$\left(\frac{\sqrt2a}2-r\right)^2=r^2+\left(\frac{\sqrt3a}2-\frac a2\right)^2$
$a=\frac{2\sqrt2r}{\sqrt3-1}$