↑ Rumburak:
Hezké řešení. Postupoval jsem trochu jinak ...
Skrytý text:Nejprve bych měl dokázat omezenost zadané posloupnosti

. Protože by se můj důkaz ale nelišil od Rumburakova, využiji již dokázaný fakt o omezenosti předložené posloupnosti kladných čísel.
V dalším kroku dokážu platnost rovnosti

Jistě platí série nerovností
Odtud plyne

Tedy pro každé

existuje takové

, že pro všechna

platí

, tj. platí také

,

,

. Proto z rekurentního zadání posloupnosti dostáváme

To ale znamená, že platí

Využívaje tohoto faktu, lze dokázat úplnou indukcí (dalším násobením rekurentní posloupnosti faktorem

) platnost vztahu

Nepotřebuji sice tak silné tvrzení, ale je zřejmé. Z této skutečnosti vyplývá, že pro liboolné

plyne omezenost posloupnosti

. Specielně: existuje jistě takové

takové, že pro všechna

platí

, což je ekvivalentní s nerovností

Proto pro nekonečnou řadu kladných čísel dostáváme
pro vhodnou reálnou konstantu

. tím je důkaz o konvergenci nekonečné řady

skončený.
Poznámka. Analogicky lze dokázat i konvergenci řady

pro libovolné reálné

. Dokonce by mohlo platit, že bude konvergovat i řada

ovšem to jsem ještě nezkoušel.