#1 19. 05. 2011 18:29
Ďalší rad
Zdravím..Som tu zasa..Potrebujem pomôcť so súčtom nasledujúceho radu:
Skúšal som bežné metódy, čo som sa naučil, teda napísať si ten rad v obrátenom poradí, nepomohlo. Skúšal som nejako zovšeobecniť k-tý člen tak, aby "k" zmizlo pred kombinačného čísla, nepodarilo sa. Skúšal som to niečím násobiť. SKúšal som skombinovať už známe alebo vyriešené súčty radov, nepodarilo. Ďakujem teda za prípadnú pomoc.
1^6 - 2^6 + 3^6 = 666
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) BakyX)
#2 19. 05. 2011 18:44
- Pavel Brožek
- Místo: Praha
- Příspěvky: 5694
- Škola: Informatika na MFF UK
- Pozice: Student
- Reputace: 194
Re: Ďalší rad
Zkus si trochu hrát s (1+x)^n, třeba tě něco napadne. Kdyby ne, tak poradím dál.
Offline
#3 19. 05. 2011 18:56 — Editoval BakyX (19. 05. 2011 19:42)
Re: Ďalší rad
↑ Pavel Brožek:
Ahoj..Už ma napadlo niečo iné..Zbytočne založená téma..Fakt prepáčte.
. Vidíme, že je vhodné vynásobiť celý súčet S výrazom (n+1)(n+2). k-tý člen potom môžeme upraviť ako 
. Dostaneme:
![$S(n+1)(n+2)=[-1.{n+2 \choose 0}+0.{n+2 \choose 1}+1.{n+2 \choose 2}+2.{n+2 \choose 3}+...+(n+1).{n+2 \choose n+2}]-(-1.{n+2 \choose 0}+0.{n+2 \choose 1})$](/mathtex/d0/d00a509fc8db7b947d7cc5dc73e72a3f.gif "kopírovat do textarea")
a súčet (1+1)^(2n+1). Hodnota ľavej zátvorky je teda 
A teraz ma zaujíma tvoj postup :)
EDIT: Opravená hranatá zátvorka
1^6 - 2^6 + 3^6 = 666
Offline
#4 19. 05. 2011 19:27 — Editoval Pavel Brožek (19. 05. 2011 19:33)
- Pavel Brožek
- Místo: Praha
- Příspěvky: 5694
- Škola: Informatika na MFF UK
- Pozice: Student
- Reputace: 194
Re: Ďalší rad
↑ BakyX:
Integrál už se snadno vypočte pomocí per partes a dostane se výsledek
.
Máš tam chybu ve výpočtu té hranaté závorky.
Víc se mi líbí tvůj postup.
Offline
#5 19. 05. 2011 19:41
Re: Ďalší rad
↑ Pavel Brožek:
Jj mám..Má byť trocha posunúta, až za tým kombinačným číslom, nevadí..V každom prípade som konečne vedel aj, čo robím..Ale keď pozerám na tvoje riešenie, vôbec nechápem :D
Ako si tam vytvoril integrál ? Prečo si si ho mohol dať pred sumu ? To je nejaké pravidlo, že to môžem len tak spraviť ? :)
Tvoj postup je vysokoškolský ale dúfam, že sa doň dostanem :)
Ďakujem
1^6 - 2^6 + 3^6 = 666
Offline
#6 19. 05. 2011 19:50
- Pavel Brožek
- Místo: Praha
- Příspěvky: 5694
- Škola: Informatika na MFF UK
- Pozice: Student
- Reputace: 194
Re: Ďalší rad
↑ BakyX:
Nešlo mi o to, že tam máš závorku na špatném místě, to jsem si domyslel. Máš ale špatně sečtený vnitřek závorky.
Rovnost
jistě platí, mohu proto levou stranu nahradit pravou.
Prohodit sumu a integrál můžu, protože integrál je lineární (
).
Offline
#7 19. 05. 2011 19:56 — Editoval BakyX (19. 05. 2011 20:05)
Re: Ďalší rad
↑ Pavel Brožek:
Teda ten súčet nie je rovný 
?
EDIT: Nie je..Ďakujem za upozornenie..Neupravujem to, aby to nemiatlo..
To 2n je preklep a má tam byť "n". Na papiery mám "n" ale tu som sa pomýlil. K tomu vybratiu integrálu..Ty tam tuším máš
A to sa rovná aj 
?
1^6 - 2^6 + 3^6 = 666
Offline
#9 20. 05. 2011 17:06 — Editoval RUFFRIDE (20. 05. 2011 17:08)
Re: Ďalší rad
![$\int_0^1 x\cdot(x+1)^k\,\mathrm{d}x&=\int_0^1 (x+1-1)(x+1)^k\,\mathrm{d}x\Bigg|_{t=x+1}=\\
&=\int_0^1 (t-1)t^k\,\mathrm{d}t=\\
&=\int_0^1 t^{k+1}-t^k\,\mathrm{d}t=\\
&=\int_0^1 t^{k+1}\,\mathrm{d}t-\int_0^1 t^k\,\mathrm{d}t=\\
&=\bigg[\frac{t^{k+2}}{k+2}\bigg]_0^1-\bigg[\frac{t^{k+1}}{k+1}\bigg]_0^1=\\
&=\bigg[\frac{(x+1)^{k+2}}{k+2}\bigg]_0^1-\bigg[\frac{(x+1)^{k+1}}{k+1}\bigg]_0^1=\\
&=\bigg[\frac{(1+1)^{k+2}}{k+2}-\frac{(0+1)^{k+2}}{k+2}\bigg]-\bigg[\frac{(1+1)^{k+1}}{k+1}-\frac{(0+1)^{k+1}}{k+1}\bigg]=\\
&=\bigg[\frac{2^{k+2}-1}{k+2}\bigg]-\bigg[\frac{2^{k+1}-1}{k+1}\bigg]=\\
&=\frac{(2^{k+2}-1)(k+1)-(2^{k+1}-1)(k+2)}{(k+2)(k+1)}=\\
&=\frac{k\cdot2^{k+2}-k+2^{k+2}-1-k\cdot2^{k+1}+k-2\cdot2^{k+1}+2}{(k+2)(k+1)}=\\
&=\frac{k\cdot2^{k+1}+1}{(k+2)(k+1)}$](/mathtex/e9/e9210f97007ee9257cc62d205a189ee0.gif "kopírovat do textarea")
edit: chcel som ti to poslat len na icq ale uz som klikol odoslat tak to tu necham :D
Offline