Matematické Fórum

Bawler · 20. 05. 2011 08:00

Zdravím... Je dáno: Řešte rovnici x^5 + 1 = 0.

Řešil jsem takto:

Zajímalo by mě, proč se u toho k používá n-1. Zkrátka my máme x_1 a k = 0. A dále, existuje nějaké rozumné vysvětlení, proč se u x^n = m, pro m<0 přičítá to 180/n? Nebo jak bych to měl vysvětlit, kdyby se mě někdo zeptal?

MartinK

↑ Bawler: Zdravim :) Sice to nejde moc přečíst, ale zkus tenhle postup.

$x^5 = -1 \nl |x|^5(\cos (5\alpha) + i\sin (5\alpha))=1(\cos \pi + i\sin \pi) \nl |x| = 1; \alpha = \frac{\pi}{5} + \frac{2k\pi}{5} \nl x_1=(\cos \frac{\pi}{5} + i\sin \frac{\pi}{5})\nl x_2=(\cos \frac{3\pi}{5} + i\sin \frac{3\pi}{5})\nl x_3=(\cos \pi + i\sin \pi) = -1\nl x_4=(\cos \frac{7\pi}{5} + i\sin \frac{7\pi}{5})\nl x_5=(\cos \frac{9\pi}{5} + i\sin \frac{9\pi}{5})$

Za k dosazuješ postupně čísla od 0 do 4.

Bawler · 20. 05. 2011 09:17

To s těmi čísly vím. Ale existuje nějaké rozumné vysvětlení proč tomu tak je?

MartinK · 20. 05. 2011 09:27

↑ Bawler: Binomická rovnice má tolik kořenů, kolik je mocnitel u néznámé. Ty kořeny se ti liší o stejnou periodu. Nakresli si to na papír a uvidíš, že ti vznikne pravidelný pětiúhelník.

zdenek1 · 20. 05. 2011 09:51

Bawler napsal(a):
To s těmi čísly vím. Ale existuje nějaké rozumné vysvětlení proč tomu tak je?

Samozřejmě. Je to nejjednodušší. Ale když se ti nelíbí čísla 0 až 4, klidně dosazuj 15 až 19.
Proti gustu....

Bawler · 20. 05. 2011 09:52 — Editoval Bawler (20. 05. 2011 09:55)

Stále nechápu jak mi z toho vyplyne, že jako první se za k dosazuje 0.

EDIT: Zdenek, takže já dosazuji 5 po sobě jdoucích čísel?

EDIT2: Aaaaa už se mi rozsvítilo. Ono kdybych tam dosadil vysoká čísla, tak by mi vyšly velké stupně, které bych musel stejně zkrátit. Chápu to správně?

MartinK

↑ Bawler: Přesně tak :)

Bawler · 20. 05. 2011 10:05

OK. Díky moc.

Matematické Fórum

#1 20. 05. 2011 08:00

Rovnice...

#2 20. 05. 2011 08:51 — Editoval MartinK (20. 05. 2011 08:59)

Re: Rovnice...

#3 20. 05. 2011 09:17

Re: Rovnice...

#4 20. 05. 2011 09:27

Re: Rovnice...

#5 20. 05. 2011 09:51

Re: Rovnice...

Bawler napsal(a):

#6 20. 05. 2011 09:52 — Editoval Bawler (20. 05. 2011 09:55)

Re: Rovnice...

#7 20. 05. 2011 10:04 — Editoval MartinK (20. 05. 2011 10:05)

Re: Rovnice...

#8 20. 05. 2011 10:05

Re: Rovnice...

Zápatí