Matematické Fórum

user · 20. 05. 2011 17:04

Dobrý den,
posílám jeden příklad
Skleněná trubice tvaru U je naplněna rtutí tak, že celková délka sloupce rtuti je l (20cm) nakloněním a jejím vrácením do původní polohy se sloupec rtuti rozkmitá. Určete periodu kmitání.

Jedno řešení je pomocí rovnice oscilátoru F=ky, pak přes vzorec T0=2(pi)sqrt(k/m) atd. to jsem snad pochopil.

Ale chtěl jsem to zkusit dif. počtem. (souřadnice jsou značeny: počátek osy y je v bodě, kde se hladiny v trubici rovnají a na jedné straně je rtuť vychýlena o y nahoru, v druhém rameni dolů)

Takže jsem si napsal pro sílu F=2y(ró)Sg
upravil jsem do vzorce pro zrychlení F=m*a -> a=F/m dosadil a vyšlo mi a =(2yg)/(l)
Teď bych to rád dosadil do obecných rovnic a získal nějakou závislost ze které by vyplynula ta perioda T. asi nejradši závislost y na t. Z toho už by neměl být problém určit čas jednoho děje, který se pak bude periodicky opakovat.

Nejdál jsem se dostal jako a=dy/(dt*dt) a za a jsem tam dosadil to mnou vypočtený, ale nevím co s tím dál.

zdenek1 · 20. 05. 2011 17:23

↑ user:
Budeš si muset nastudovat teorii řešení diferenciálních rovnic, tebe konkrétně zajímá rovnice
$y^{\prime\prime}+\frac kmy=0$ $(1)$

Ale pokud tě nezajímá teorie, tak můžeš řešení "uhodnout" ve formě $y=A\sin(\omega t+\varphi_0)$ ,
spočítat druhou derivaci
$y^{\prime\prime}=-A\omega^2\sin(\omega t+\varphi_0)$
dosadit do $(1)$ a vypočítat $\omega$

user · 20. 05. 2011 18:07 — Editoval user (20. 05. 2011 18:08)

Moc děkuju,
sice z toho moc moudrý nejsem. V matematice jsem se nejdál dostali k objemu rotačního tělesa. Takže nějaké rovnice vůbec.
Jestli to jde rozepsat trochu pochopitelněji pro středoškoláka, tak by mě to i zajímalo, ale zas to nepotřebuju tak nutně.
Paradoxně bych to asi dokázal namodelovat přes rovnice, co jsem napsal pro F a a, v excelu, ale spočítat ne :(
No jestli udělám maturitu, tak mě to snad naučí na VŠ, protože moc pilný samostudent nejsem, ačkoliv mě to zajímá :D

Ještě poznámka k tomu řešení. Siny nemůžou tu nulu zařídit (kromě f0=0) takže pak vlastně dostanu vytknutím vzorec pro T0 ( $\omega^2- \frac km=0$ ), který jsem použil v prvním příspěvku? Takže se výsledku stejně nevyhnu počítání s tím "k" který musím odvodit z těch sil? Na začátku jsem si říkal, že bych se mohl vyhnout tomu pohledu jako na oscilátor a počítat to jen jako nějaký obecný děj, u kterého mi nakonec vyjde nějaké opakování. Takže vlastně celý to odvození bylo jen k tomu abych si nemusel tenhle vzorec pamatovat.
napadlo mě že bych třeba mohl použít zákon zachování energie pro určení amplitudy rychlosti, u které by bylo zřejmé že nastane pro y=0. Prostě bych se rád vyhnul tomu kmitání.
Omlouvám se, že to tak zesložiťuju...

Matematické Fórum

#1 20. 05. 2011 17:04

Kmitání v trubici tvaru U

#2 20. 05. 2011 17:23

Re: Kmitání v trubici tvaru U

#3 20. 05. 2011 18:07 — Editoval user (20. 05. 2011 18:08)

Re: Kmitání v trubici tvaru U

Zápatí