Matematické Fórum

SimonaHoudova · 29. 05. 2008 11:24

Je treba vypocitat extremy funkce f(x,y,z) = x+(y^2/4x)+(z^2/y)+( 2/z)

Po prvni derivaci mi to vychazi

df/dx = 1 - (y^2/4x^2)

df/dy = (2y/4x) - (z^2/y^2)

df/dz = (2z/y) - (2/z^2)

Ale pak nedokazu vypocitat ty body stacionarni :-(. V tom prvnim mi vychazi 2x=y. Ale pak se jiz dostanu na treti mocninu. Prosim, mohli byste mi rozepsat, co s tim?

robert.marik

dosazeni y=2x do toho druheho a vypocet napriklad z pmoci y a dosazeni do treti rovnice nefunguje?

A jeste je z prvni rovnice i moznost y=-2x

SimonaHoudova · 29. 05. 2008 15:35

↑ robert.marik:↑ robert.marik:
Pokud dosadim y=2x do druheho, tak mi vychazi y=sqrt2*z, kdyz dosadim y=sqrt2*z do treti rovnice, tak mi vychazi z^2=sqrt2, no tak tady bude neco spatne, to nemuze prece tak vyjit. Rozepis mi to, prosim :)

robert.marik · 29. 05. 2008 15:56

mozna jsem se prehlidl (nepisu to na papir), ale po y=2x je druha rovnice (4x)/(4x)-z^2/y^2 a y=z nebo y=-z

a i kdyby, co je za problem s rovnici z^2=sqrt2 ? z=2^(1/4) a y=-2^(1/4)

SimonaHoudova · 30. 05. 2008 13:37

↑ robert.marik:

Ja bych mela prosbu, mohl bys mi to, prosim, vypocitat od 1. derivace do konce

df/dx = 1 - (y^2/4x^2)

df/dy = (2y/4x) - (z^2/y^2)

df/dz = (2z/y) - (2/z^2)

Ja uz nad tim sedim asi 3 hodiny (ty asi bys to mel vypocitane za 10 minut) a nemuzu na to prijit, jak to vypocitat. U me je problem s tim, ze ja vzdycky potrebuji vzor reseneho prikladu v jednotlivych krocich s vypocty (nejenom popis, jak je to treba vypocitat protoze to casto nechapu, ale ukazka na urcitem prikladu) a pak jsem schopna to aplikovat na dalsi priklady. Moc prosim, ja totiz se pripravuji na zkousku. Budu moc vdecna

robert.marik

z 1. rovnice:
0 = 1 - (y^2/4x^2)
1 = (y^2/4x^2)
4*x^2 = y^2

$y=\pm 2x$

2. rovnice: bud pocitat y=2x moznost y=-2x delejte sama (povede asi na rovnic, ktera nema reseni)

0= (2y/4x) - (z^2/y^2)
0= (2*2x/4x) - (z^2/y^2)
0= 1 - (z^2/y^2)
1 = (z^2/y^2)
y^2=z^2
$z=\pm y$

3. rovnice: budu pocitat z=y=2x moznost z=-y=-2x zkuste sama, zase povede na rovnici, ktera nema reseni.
0 = (2z/y) - (2/z^2)
0 = (2y/y) - (2/z^2)
0 = (2) - (2/z^2)
1=z^2
$z=\pm 1$

[1/2,1,1], [-1/2,-1,-1]

SimonaHoudova · 30. 05. 2008 15:20

↑ robert.marik:

Mohl bys mi to v takovy zpusob vyresit az do konce, tzn. az do stanoveni extremu funkce, prosim moc. Budu opravdu vdecna :)

robert.marik · 30. 05. 2008 15:27

Omlouvam se, ale na tohle je moc vedro a malo casu. Ale jestli chcete, napiste sem druhe derivace (jejich devet), prislusny determinant atd a nekdo to zkontroluje.

SimonaHoudova · 31. 05. 2008 22:50

↑ robert.marik:

f´´ xx = (y^2/4x^3)

f´´ xy = (-2y/4x^2)

f´´ xz = 0

f´´ yx = (-2y/4x^3)

f´´ yy = ((2/4x)+(z^2/y^3))

f´´ yz = (-2z/y^2)

f´´ zx = 0

f´´ zy = (-2z/y^2)

f´´ zz = ((2/y)+(2/z^3))

Matice pro bod A [1/2,1,1]

2 -2 0
4 2 -2
0 -2 4

Matice pro bod B [-1/2,-1,-1]

-2 2 0
-4 -2 2
0 2 -4

Mohli byste mi to, prosim, zkontrolovat, jestli je to dobre?

robert.marik

Hessian v obecnem bode

$\begin{pmatrix}\frac{{d}^{2}}{d\,{x}^{2}}\,f\left( x,y,z\right) & \frac{{d}^{2}}{d\,x\,d\,y}\,f\left( x,y,z\right) & \frac{{d}^{2}}{d\,x\,d\,z}\,f\left( x,y,z\right) \cr \frac{{d}^{2}}{d\,x\,d\,y}\,f\left( x,y,z\right) & \frac{{d}^{2}}{d\,{y}^{2}}\,f\left( x,y,z\right) & \frac{{d}^{2}}{d\,y\,d\,z}\,f\left( x,y,z\right) \cr \frac{{d}^{2}}{d\,x\,d\,z}\,f\left( x,y,z\right)& \frac{{d}^{2}}{d\,y\,d\,z}\,f\left( x,y,z\right) & \frac{{d}^{2}}{d\,{z}^{2}}\,f\left( x,y,z\right)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{{y}^{2}}{2\,{x}^{3}}& -\frac{y}{2\,{x}^{2}}&0\cr -\frac{y}{2\,{x}^{2}} & \frac{2\,{z}^{2}}{{y}^{3}}+\frac{1}{2\,x}& -\frac{2\,z}{{y}^{2}}\cr 0 & -\frac{2\,z}{{y}^{2}} & \frac{4}{{z}^{3}}+\frac{2}{y}\end{pmatrix}$

Matice pro bod A [1/2,1,1] : matrix([4,-2,0],[-2,3,-2],[0,-2,6])

Matice pro bod B [-1/2,-1,-1] : matrix([-4,2,0],[2,-3,2],[0,2,-6])

SimonaHoudova · 01. 06. 2008 00:24

↑ robert.marik:

No, ja jsem totiz nevedela, ze pokud je derivace np. 1/z^2, tak pak je treba to vynasobit 2, no a pak je vysledek -2/z^3

Muzu se zeptat,

jestli mam spravny vysledek - funkce ma lokalni minimum f (1/2, 1, 1), protoze b1>0, b2>0

lokalni maximum f (-1/2,-1,-1), protoze b1<0, b2>0?

Matematické Fórum

#1 29. 05. 2008 11:24

Extrémy funkce

#2 29. 05. 2008 11:34 — Editoval robert.marik (29. 05. 2008 11:34)

Re: Extrémy funkce

#3 29. 05. 2008 15:35

Re: Extrémy funkce

#4 29. 05. 2008 15:56

Re: Extrémy funkce

#5 30. 05. 2008 13:37

Re: Extrémy funkce

#6 30. 05. 2008 14:53 — Editoval robert.marik (30. 05. 2008 14:53)

Re: Extrémy funkce

#7 30. 05. 2008 15:20

Re: Extrémy funkce

#8 30. 05. 2008 15:27

Re: Extrémy funkce

#9 31. 05. 2008 22:50

Re: Extrémy funkce

#10 31. 05. 2008 23:28 — Editoval robert.marik (31. 05. 2008 23:36)

Re: Extrémy funkce

#11 01. 06. 2008 00:24

Re: Extrémy funkce

Zápatí