Matematické Fórum

Petrsuk · 31. 05. 2011 10:59

Ahoj, potřebuji poradit s tímto příkladem:

zjistete zda-li fce $f(x,y,z)=2x^2-y^2+3z^2+6xz-2y-8=0$ v okolí bodu $A [1;-3;1]$ určuje implicitně $z=z(x,y)$

1) Určete tečnu a normálu fce $z$ v bodě $(1;-1)$

2) totální diferenciál $dz$ v bodě $(1;2)$

Snad si to zadání pamatuji dobře :-)
------------------------------------------------------------------------------------------------

Jak si myslím, že by se to řešilo:
to jestli fce f určuje implicitně $z=z(x,y)$ zjistím tak že do $f(x,y,z)$ dosadím bod $A [1;-3;1]$ musí vyjít $f(x;y;z)=0$
poté udělám parciální derivace implicit. fce (viz vzorec dole) a zjistím jejich hodnoty v bodě $A [1;-3;1]$ , výsledně funkční hodnoty musí být různé od nuly. pak platí, že $f(x,y,z)$ určuje implicitně $z=z(x,y)$ v okolí bodu A

----------------------------------------------------------------
dále zhruba asi vím jak by se dělala tečna a normála:
a) zjistím si hodnotu $z_0$ tak, že dosadím do $f(1,-1,z_0)$

b) určím si parciální derivace podle vzorců a zjistím jejich hodnotu v bodě $(1;-1;z_0)$

následně dosadím do vztahu pro tečnu a normálu (vzorec normály jsem nenašel).

-------------------------------------------------------------

prosím o kontrolu mých postupů a o případně doplnění, jak udělat ten totalní diferenciál u implicitní fce.

Děkuji

Rumburak

V odstavci b) : v těch rovnicích pro výpočet derivací impl. fce je nějak zmateno označení těch funkcí .

Nenulovost parciální derivace fce f je potřeba ověřit pouze u p.d. podle z, u p.d. podle x resp. podle y to význam nemá.

Věta o implicítní funkci neříká nic o velikosti jejího definičního oboru. Víme, že jím bude nějaká množina s vnitřním bodem $[1;-3]$ ,
ale zda do ní budou patřit též body $[1;-1]$ , $[1;2]$ , to ze samotné věty o impl. fci nevyplývá. V těchto a dalších otázkách (tečna a
normála ke grafu a totální difrenciál ve zmíněných bodech) myslím, že bude rozumné postuovat tak, že pro neznámou "z" a dvourozměrný
parametr $[x, y]$ z okolí bodu $[1;-3]$ vyřešíme rovnici $2x^2-y^2+3z^2+6xz-2y-8=0$ a přejdeme k explicitnímu
vyjádření funkce $z=z(x,y)$ .

Petrsuk · 31. 05. 2011 14:22

Děkuji moc za reakci: ale nevím jestli jsem to všechno správně pobral
takže do rovnice níže dosadím za z $[1;-3]$
$2x^2-y^2+3z^2+6xz-2y-8=0$

tím dostanu dvě rovnice již bez z $2x^2-y^2+6x-2y-5=z_1$ a $2x^2-y^2+18x-2y+19=z_2$ a pak tedy určím totální diferenciál, tečnu, normálu pro každou rovnici?

Rumburak · 31. 05. 2011 14:38

Ne ne. Toto $2x^2-y^2+3z^2+6xz-2y-8=0$ resp. po úpravě toto $3z^2+6xz +(2x^2-y^2-2y-8)=0$
budeme vnímat jako kvadratickou rovnici pro neznámou "z" v závislosti na paremetrech x, y , kterou vyřešíme a tak dostaneme
(pokud je úloha korektně zadána, což jsem nezkoumal) dvě funkce $z_{1,2}(x,y) = ...$ spojité v okolí bodu $[1;-3]$ , z nichž vybereme tu,
která má v tomto bodě hodnotu 1 . Tak dostaneme funkci z(x,y) v explicitním vyjádření a větu o implicitní funkci už nebudeme potřebovat.

Petrsuk · 01. 06. 2011 11:58

Moc ti děkuji, pořádně si to ještě nastuduji a snad to nějak dám dohromady.

Matematické Fórum

#1 31. 05. 2011 10:59

implicitní funkce

#2 31. 05. 2011 13:47 — Editoval Rumburak (31. 05. 2011 14:22)

Re: implicitní funkce

#3 31. 05. 2011 14:22

Re: implicitní funkce

#4 31. 05. 2011 14:38

Re: implicitní funkce

#5 01. 06. 2011 11:58

Re: implicitní funkce

Zápatí