Matematické Fórum

RUFFRIDE

Zdravim, neviem si dat rady s dokazom tejto vety:

Nech $n\in\mathbb{N}$ , $a,x\in\mathbb{R^+}:x^n<a$ . Potom existuje cislo y tak, ze je $y>x$ , $y^n<a$ .

Dakujem za pripadne napady.

musixx · 01. 06. 2011 14:47

Klidně na to umocňování z počátku zapomeň a začni tímto:

$a,x'\in\mathbb{R^+}:x'<a$ . Zkonstruujte reálné $y'$ tak, že $x'<y'<a$ .

RUFFRIDE · 01. 06. 2011 15:21

kedze $x'<a$ potom $1<\frac{a}{x'}$ , dalej o $y'$ teda viem ze, $0<y'<\frac{a}{x'}$ , je to zatial OK? mam dalej skumat pripady $0<y'<1$ , $y'=1$ , $y>1$ ?

dakujem

Phate · 01. 06. 2011 15:30 — Editoval Phate (01. 06. 2011 15:31)

Dukazy nejsou zrovna moje hobby, ale myslim, ze $0<y'<\frac{a}{x'}$ neplati, kdyz uz, tak $1<\frac{y'}{x'}<\frac{a}{x'}$

musixx · 01. 06. 2011 18:21

No, určitě třeba $\frac{x'+a}2$ leží mezi $x'$ a $a$ . Co kdybychom položili $y^n=\frac{x^n+a}2$ . Bude potom splněno vše, co se chce po $y$ ?

RUFFRIDE · 01. 06. 2011 21:46

↑ Phate: ano malo to bzt tak, neviem ako som to mohol takto delit :D
↑ musixx:dakujem, je toto vsetko ? stacilo iba ukazat ze existuje toto y? pod ulohou mam totiz napisane uzite binomicku vetu

musixx · 02. 06. 2011 06:51 — Editoval musixx (02. 06. 2011 06:57)

Nevidím důvod, proč používat binomickou větu. Stačí jen fakt o růstu mocninné funkce $x^n$ pro kladná $x$ (dokonce i požadavek na přirozené n by se dal hodně rozšířit) k tomu, aby se ukázalo, že
$x<\sqrt[n]{\frac{x^n+a}2}$ pro $x^n<a$ .

EDIT: Druhá nerovnost, totiž že $$\sqrt[n]{\frac{x^n+a}2}\,$^{\!\!\!n}<a$ , je s předpokladem $x^n<a$ jasná.

-------------------

Možná takové úvahy o průběhu funkcí se od vás (z jakýchkoli důvodů) neočekávají. Hlavní část je totiž zbavit se té jedné poloviny pod odmocninou.
Na to se dá také jít tak, že si předpoklad $x^n<a$ představím jako $x<\sqrt[n]a$ , tedy $x+\Delta x=\sqrt[n]a$ pro nějaké kladné reálné $\Delta x$ , tedy $a=(x+\Delta x)^n=x^n+\cdots$ podle binomické věty, kde $\cdots$ je něco kladného. Potom
$\sqrt[n]{\frac{x^n+a}2}=\sqrt[n]{\frac{x^n+x^n+\cdots}2}=\sqrt[n]{x^n+\frac{\cdots}2}>x$ .