Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 02. 06. 2011 21:05
Dimenze a báze prostoru
Určete dimenzi a najděte bázi prostoru všech takových reálných 3 x 3 matic, pro které platí, že
a) všechny řádky, všechny sloupce a obě diagonály mají stejný společný součet
b) všechny řádky a všechny sloupce mají stejný společný součet.
Jaká bude dimenze prostoru matic obecného typu n x n v případech a) a b)?
Zatím se prokousávám začátky lineární algebry... předpokládám, že když mám matici 3x3 tak dimenze je 3 a
báze bude taky 3.
pro případ a) budou muset mít všechna pole v matici stejnou hodnotu?
pro případ b) zvolím např. matici ( (1,0,1) (0,1,0) (1,0,1))
dimenze prostoru matic obecného typu n x n pro oba případy bude n?
Jsou to moje předpoklady, ale potřeboval bych vysvětlit nějak "lidsky" proč tomu tak je popřípadě proč tomu tak není....
Díky každému kdo pomůže.
Offline
#2 03. 06. 2011 18:10
Re: Dimenze a báze prostoru
Ahoj, pro případ b) si sestav 6 rovnic.
Např a+b+c=K
d+e+f=K atd. ,kde K je ta konstanta.
Máš 6 rovnic pro 9 neznámých-nedourčené rovnice jste jistě v LA brali, a jejich řešení je to, co hledáš-báze prostoru o dimenzi 9-6=3. Pro případ a) pouze přidáš dvě rovnice a dimenze bude 9-8=1.
Do prázdného domu vešli 4 lidé, poté odešlo 6 lidí. Kolik lidí musí do domu vejít, aby byl dům prázdný?
Offline
#3 03. 06. 2011 18:49 — Editoval anes (03. 06. 2011 20:05)
Re: Dimenze a báze prostoru
↑ Asinkan:
Pozor!
1) abys mohl takhle kouzlit s dimenzí, tak potřebuješ mít ty rovnice lineárně nezávislé. Pokud budu mít ale u b) splněnou podmínku pro 3 řádky a 2 sloupce, tak pro ten zbývající sloupec je už splněna celkem jasně automaticky, těch 6 podmínek je tedy LZ a proto sníží dimenzi nanejvýš o 5 (Pro přesný údaj je potřeba určit hodnost matice soustavy - zjistíme, že to opravdu bude těch 5).
2) chápu-li to dobře, tak ten společný součet není předem daný. To bych zapsal např. tak, že bych ubral první z rovnic a v dalších pak na místo k psal a + b + c.
EDIT:
Ale abych vůbec reagoval na původní příspěvek
dimenze prostoru matic n x n bude n^2. Taková matice má totiž n^2 na sobě nezávislých prvků, které si můžeš volit. Pro 3x3 to bude 9. Podmínky, které si potom v úloze kladeš jejich svobodu omezují. Např. když ti někdo řekne, že prvek na pozici 1,3 bude mít hodnotu 7, tak už můžeš volit jen zbývajících 8 a dimenze tedy bude 8. Když ti navíc někdo řekne, že součet prvků na pozicích 1,2 a 3,2 bude 5, tak zas klesne dimenze o 1 (hodnotu jednoho z nich si můžeš zvolit a druhého už musíš dopočítat a nemáš na výběr). Když ti ale někdo znova řekne, že prvek 1,3 bude mít hodnotu 7, dimenzi už to nesníží (protože tuhle podmínku už jsi jednou zapracoval - to je to zkoumání lineární nezávislosti).
To je tak lidsky, o čem ty úlohy jsou.
Jinak si ale myslím, že pokud tě netlačí nějaký deadline, tak by bylo lepší kouknou aspoň zhruba napřed na tu teorii a nejjednodušší příklady přímo související s probíraným kusem teorie.
Offline
#4 06. 06. 2011 21:55 — Editoval Andres (06. 06. 2011 21:57)
Re: Dimenze a báze prostoru
ještě bych se chtěl zeptat, jak chápete to "společný součet" zda to autor nemyslí tak, že součet 3řádků = součet 3sloupců = součet diagonál ....
tzn. že pro případ b) by byla dimenze 9 protože si mohu zvolit všechna čísla a součet řádků i sloupců je stejný protože mám čtvercovou matici....
EDIT:
ještě dotaz při součtu diagonál se prostřední číslo počítá do každé diagonály? :) (otázka na pěst, ale jistota je jistota)
Offline
#6 07. 06. 2011 16:35 — Editoval anes (07. 06. 2011 16:58)
Re: Dimenze a báze prostoru
Pro všechny tyto účely je matice prachobyčejný vektor o n^2 složkách. To, že si je zapíšeš do řádků je jen, abys to měl hezký (a aby se dala časem hezky zavést operace násobení. To tě tady ale vůbec nezajímá).
Př: pro prostor matic C 2,2, které mají na pozici 1,2 nulu budou bázi tvořit třeba matice
Edit: ↑ Andres: Tak bych to rozhodně nechápal. Nevidím, jaký by měla úloha smysl a navíc by to tedy bylo hodně divně zapsáno. Pokud nerozlišuješ mezi sloupcovým a řádkovým vektorem, tak se na to dá koukat maximálně tak, že součet 3 řádků, tedy vektor o 3 složkách = součet 3 sloupců = součet diagonál. Řekl bych sice, že tak to autor nemyslel, ale cvičně si to zkusit můžeš.
Offline