Matematické Fórum

xMravenecek · 03. 06. 2011 13:43

Ahoj, tentokrát příklad z analytické geometrie.

Určete obecné rovnice tří rovin, které jsou po dvou vzájemně kolmé a z nichž jedna z nich je rovinou souměrnosti úsečky AB, A[1,0,-3], B[3,2,7], a zbylé dvě se protínají v přímce AB.

Nejprve jsem určil rovnici roviny souměrnosti úsečky AB, to nebyl problém, její rovnice jest: x + y +5z - 13 = 0.
Dále jsem se nějak zasekl. Vím, že další dvě roviny budou muset být závislé na nějakém parametru, protože takových rovin je nekonečně mnoho, protože se mohou libovolně otáčet kolem přímky AB (ale musí být samozřejmě vzájemně kolmé, k rovině souměrnosti jsou kolmé automaticky, protože obsahují přímku AB, která je k rovině souměrnosti samozřejmě kolmá). Snažil jsem se tedy vyjít ze vztahu, že skalární součiny normálových vektorů rovin jsou nulové (po dvou kolmé, tedy to vede na 3 různé rovnice). Pak jsem usoudil, že vektorový součin normálových vektirů těch dvou rovin musí za výsledek dávat normálový vektor roviny souměrnosti.

A tady jsem se zasekl, ta soustava mi nikam nevede a nevím, jak dál. Prosím o nakopnutí, nejlépe do hlavy :-)

S pozdravem Mravenec

Rumburak

Problém je možná v tom, že ta dvojice zbývajících rovin, které procházejí přímkou AB, není určena jednoznačně (i když jsou na sebe kolmé),
což sis zřejmě uvědomil, soudě z Tvého textu. Proto nějakou soustavu s jediným řešením nečekejme.

Snad by šlo jít na to následovně:
Analogické vztahy jako mezi třemi hledanými rovinami existují mezi třemi rovinami o rovnicích

(1) x = 0, y = 0, z = 0 .

Při vhodné isometrické transformaci protstoru R^3 by se roviny o rovnicích (1) měly zobrazit na roviny, které hledáme.
Zvolme třeba na ose z úsečku CD se středem v počátku, která je shodná s úsečkou AB .
Nalezněme isometrickou transformaci prostoru R^3, která zobrazí úsečku CD na AB . Taková transformace je (snad se nemýlím ?) závislá
na jednom reálném parametru.

Obrazem roviny z = 0 by pak měla být rovina o rovnici x + y +5z - 13 = 0, obrazem rovin x = 0, y = 0 zbývající dvě roviny.

Tolik idea, provést to početně toť další věc.

xMravenecek · 03. 06. 2011 16:29

↑ Rumburak:
Jasný, nástin Tvého řešení je logický a vím, jak to myslíš (že si "posuneme a přetočíme" střed AB do počátku, vyřešíme a hodíme zpět). Jen jsme nedělali žádné izometrie v prostoru, zabývali jsme se všelijakými afinitami, ale jenom v A2 (resp. E2). Nelze to tedy vyřešit ještě nějak jinak?

Rumburak

↑ xMravenecek:
Napadla mne následující možnost:
Každá z hledaných rovin $\alpha, \beta, \gamma$ bude procházet bodem $S := \frac{A+B}{2}$ (střed úsečky AB) , takže jejich rovnice bude možno
zapsat ve vektorových tvarech

(1) $\alpha: \,\vec{a}(X-S) = 0$ , $\beta: \,\vec{b}(X-S) = 0$ , $\gamma: \,\vec{c}(X-S) = 0$ ,

kde $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ jsou odpovídající normálové vektory těchto rovin.

Jako $\gamma$ vezměme tu rovinu, která protíná (kolmo v bodě S) přímku AB. Potom stačí položit $\vec{c}= B-A$ a s touto rovinou jsme hotovi.

Nenulové vektory $\vec{a}$ , $\vec{b}$ nutno a stačí volit tak, aby spolu s $\vec{c}$ tvořily ortogonální systém, takže $\vec{a}$ , $\vec{b}$ budou zároveň rovnoběžné
s rovinou $\gamma$ .

Pro větší přehlednost dalších úvah a bez újmy na obecnosti hledejme vektory $\vec{a}$ , $\vec{b}$ takové, aby navíc měly jednotkovou velikost.
I tak zbývá pro volbu této dvojice nekonečně mnoho možností, které jsou dány tím, že řešení úlohy se nepokazí otočením okolo přímky AB.

Jistě by bylo elegantní parametrisovat dvojici $\vec{a}$ , $\vec{b}$ tak, aby tím byly pokryty všechny možnosti. Pokusme se o to.

Nejprve nelezněme jednu konkretní takovou dvojici $\vec{a}$ , $\vec{b}$ a označme ji $\vec{a}_0$ , $\vec{b}_0$ . Tu, která vznikne jejím otočením okolo přímky AB -
tedy lze říci otočením v rovině $\gamma$ - označme $\vec{a}_t$ , $\vec{b}_t$ , kde $t\in [0, 2\pi)$ je úhel otočení . Není třeba se při tom starat o orientaci otočení
(v rovině $\gamma$ ) ani o orientaci vektorů, neb to pro úlohu nemá význam.

Odvoď me vztah mezi dvojicemi $\vec{a}_0$ , $\vec{b}_0$ a $\vec{a}_t$ , $\vec{b}_t$ , odtud se pak už snadno odvodí i parametrisace dvojice rovin $\alpha$ , $\beta$ .

Linérní obal W vektorů $\vec{a}_0$ $\vec{b}_0$ zobrazíme vzájemně jednoznačně na komplexní rovinu tak, že obrazem vektoru $\lambda\vec{a}_0 + \mu \vec{b}_0$ bude
komplexní číslo $\lambda + \mu \mathrm i$ . To se otočením o úhel t zobrazí na číslo

$(\lambda + \mu \mathrm i)(\cos t + \mathrm i \sin t) = (\lambda \cos t - \mu \sin t) +(\lambda \sin t + \mu \cos t) \,\mathrm i$ ,

jemuž odpovídá vektor

$(\lambda \cos t - \mu \sin t)\vec{a}_0 + (\lambda \sin t + \mu \cos t)\vec{b}_0$ .

Speciálně: otočením v rovině $\gamma$ se tedy zobrazí vektor $\vec{a}_0$ na $\cos t \cdot \vec{a}_0 + \sin t \cdot \vec{b}_0$ , vektor $\vec{b}_0$ na $-\sin t \cdot \vec{a}_0 + \cos t \cdot \vec{b}_0$ .
Neboli

$\vec{a}_t = \cos t \cdot \vec{a}_0 + \sin t \cdot \vec{b}_0$ , $\vec{b}_t =-\sin t \cdot \vec{a}_0 + \cos t \cdot \vec{b}_0$ .