Matematické Fórum

ajucha · 06. 06. 2011 13:43

Osová rovnice hyperboly v pravoúhlých souřadnicích je 16x^2-9y^2=144. Napište její rovnici, budou-li osami souřadnic její asymptoty.
Nevím si vůbec rady,jak do toho. vím,co je tím myšleno a vím, že ta rovnice bude mít tvar lineární lomené fce,ale jak to mám převést?:)

Rumburak

Obecný bod $X[x,y]$ roviny je potřeba vyjádřit v nových souřadnicích $\xi,\, \eta$ , což budou souřadnice v kosoúhlé soustavě,
jejímiž souřadnicovými osami jsou asymptoty té hyperboly. Dostaneme tak vztahy $x = x(\xi,\, \eta),\,\,\,\,y = y(\xi,\, \eta)$ ,
které dosadíme do rovnice $16x^2-9y^2=144$ .

ajucha · 06. 06. 2011 14:16

↑ Rumburak:
to jsem mocnepochopila...
Ale kdyz mam treba priklad:Jsou-li osami souradnic asymptotydane hyperboly, je jejirovnice xy=100, přičemž a-b=4. Mame napsat osovou rovnici teto hyperboly v pravouhlých souřadniicíh.
V řešení tohoo příkladu je postup: xy=e^2/4 a poté nejaké rozepsaní...
nechápu to, proč se xy má rovnat e^2/4 ??

Rumburak

↑ ajucha:
Na otázku " proč se xy má rovnat e^2/4 ?" neumím odpodědět (dokonce ani nevím, že/zda tomu tak je), snad to tak vyjde, ale na tomto poznatku
by náš postup neměl být závislý. Nejpracnější částí úlohy bude najít tu substituci souřadnic. To, co souvisí přímo s hyperbolou, je v podstatě hračka.

1. Napiš si rovnice asymptot (jejich společnou rovnicí bude $16x^2-9y^2=0$ , rozkladem levé strany na součin dostaneš rovnice jednotlivě) .
Je zřejmé, že se asymptoty protínají v počátku P[0, 0], který pak bude počátkem i v "nové" soustavě.

2. Na každé asymptotě najdi po jednom bodu, který bude mít od počátku zvolenou vzdálenost - např. 1. Dostaneš tak dva různé body A, B,
z nichž každý leží na jedné a pouze jedné asymptotě.

3. Nyní jde o to, že pro libovolný bod $X$ naší roviny je vektor $X - P$ lineární kombinací vektorů $A -P$ , $B -P$ , které tvoří novou bázi
prostoru R^2 . Takže existují (a sice jednoznačně vzhledem k $X$ ) čísla $\xi,\, \eta$ taková, že

(1) $X-P = \xi(A -P) + \eta(B -P)$ .

Čísla $\xi,\, \eta$ jsou ony "nové" souřadnice bodu X. Jde o to vyjádřit pomocí nich "staré" souřadnice x, y bodu X, což je pouze počtářská úloha
pomocí vektorové rovnice (1), pokud ty body A, B už konkretně známe (tj. máme je vyjádřeny ve "starých" souřadnicích) .

Matematické Fórum

#1 06. 06. 2011 13:43

hyperbola

#2 06. 06. 2011 14:12 — Editoval Rumburak (06. 06. 2011 14:58)

Re: hyperbola

#3 06. 06. 2011 14:16

Re: hyperbola

#4 06. 06. 2011 14:52 — Editoval Rumburak (06. 06. 2011 16:08)

Re: hyperbola

Zápatí