Matematické Fórum

lukasklhufek · 06. 06. 2011 22:23

Zdravím,

mám problém s otázkou ke zkoušce. Mohl by mi na ni někdo srozumitelně a pokud možno s nákresem odpovědět?

--- > Čím lze nahradit funkce sin x, ex, když je x malé. Nakreslete a zdůvodněte.

Děkuji a jsem s pozdravem.

anes · 06. 06. 2011 22:41

Zkus Taylorův rozvoj.
Obrázkem bude míněno asi něco jako je tady hned nahoře (aspoň schematicky).
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansion

lukasklhufek · 06. 06. 2011 23:33

no rád bych, ale nevím, jak Taylora aplikovat na tenhle druh příkladu:-) nešlo by nějaké podrobnější vysvětlení ? Ani ten obrázek moc nechápu... :/

LukasM · 07. 06. 2011 00:29

↑ lukasklhufek:
Nekoukej na obrázek, ale na tu definici. Umíš ty funkce zderivovat? Umíš ty derivace vyčíslit v nule (ptají se na x malé, tak budeme rozvíjet v nule, tedy a=0)?

Pokud ano, tak sestav prvních pár členů té řady. Jak vidíš, tak pokud vezmeme jen první člen, tak jsme aproximovali sin(x) kolem nuly konstantní nulovou funkcí, a $e^x$ aproximujeme jedničkou - na to by i bez Taylora nebylo těžké přijít. Čím víc členů vezmeš, tím přesnější aproximace bude.

Jinak jestli sis alespoň otevřel ten odkaz od ↑ anes:, jistě ti neušlo, že $e^x$ je tam rozvinutá v sekci Examples, v sekci Approximation and convergence je pak T.p. 7. stupně funkce $sin(x)$ i s obrázkem. Dále se podívej na proslulou dokonalou animaci.

Rumburak

↑ lukasklhufek:
Je otázka, zda examinátor bude chtít slyšet o metodě, která je jemná leč složitá, nebo naopak o metodě, která je méně jemná,
leč myšlenkově i technicky velmi jednoduchá. Ten Taylorův rozvoj je už jemnost, avšak mnohdy vystačíme i s poměrně hrubým
nahrazením, kdy funkce g nahrazující v okolí bodu c funkci f je funkce lineární, jejímž grafem je tečna ke grafu funkce f v bodě c.
Pak bude $g(x) = f'(c)(x-c) + f(c)$ . (Je to zároveň Taylorův polynom stupně 1.)

EDIT: Co to znamená, že "x je malé" ? že se blíží k -oo ? Pak bychom exponeciálu měli nahradit nulou, avšak sinus nepůjde nahradit
ničím jednoduchým, protože jde o periodickou funkci . Spíše asi bylo míněno, že " |x| je malé ".

Matematické Fórum

#1 06. 06. 2011 22:23

nahrazení funkce sin x, e^x

#2 06. 06. 2011 22:41

Re: nahrazení funkce sin x, e^x

#3 06. 06. 2011 23:33

Re: nahrazení funkce sin x, e^x

#4 07. 06. 2011 00:29

Re: nahrazení funkce sin x, e^x

#5 07. 06. 2011 09:45 — Editoval Rumburak (07. 06. 2011 09:53)

Re: nahrazení funkce sin x, e^x

Zápatí