Matematické Fórum

Sulfan · 09. 06. 2011 17:02

Dobrý den,

chtěl bych spočítat determinant matice, která vypadá následovně:
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & ... & ... & 1 & 1 & a\\ 1 & 1 & 1 & 1 & ... & ... & 1 & a-1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & ... & ... & a-2 & 0 & 0 \\ ...& ...& & & & & & & &\\ ...& ... & & & & & & & &\\ 1 & 1 & 3 & 0 & ... & ... & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & ... & ... & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & ... & ... & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

To znamená, že na vedlejší diagonále jsou prvky postupně 1,2,...,(a-1),a a nalevo od vedlejší diagonály jsou jedničky a napravo nuly.

Vím, že determinant u čtvercové matice lze počítat tak, že ji převedeme na schodový tvar a vynásobíme mezi sebou prvky matice v diagonále. Schodový tvar vypadá tak, že se vyrábí nuly v části od hlavní diagonály nalevo. Co se ale stane s determinanetem, kdybychom vynásobili hned prvky jen ve vedlejší diagonále?

Uvažoval jsem takto, například u matice 4x4,
$\left | \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 0\\ -1 & -1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \right |$
by stačilo prohodit navzájem první a poslední sloupec a a druhý se třetím (čímž by se dvakrát změnilo znaménko) a determinant by byl roven součinu prvků ve vedlejší diagonále původní matice.

U matice 5x5
$\left | \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 2 & -1 & 0\\ -1 & -1 & 2& 0 & 0\\ 2 & 3& 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} \right |$
předpokládám, že by šlo prohodit opět prohodit první sloupec s posledním, druhý se čtvrtým a třetí nechat tak jak je. Protože byla prohození opět dvoje, nemusíme měnit znaménko.

U matice 6x6
$\left | \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 2& 2\\ 1 & 1 & 2 & -1 & 2& 0\\ -1 & -1 & 2& 2 &0 & 0\\ 2 & 3& 2& 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} \right |$
bude situace jiná, protože bychom prohazovali lichý počet řádků, a tak bude platit: $det(A_{upravene})=-det(A_{puvodni})$ . A nakonec i u matice 7x7 bude tento počet lichý (1-7,2-6,3-5,4 zůstane) a bude platit obdobný vztah.

Usuzuji tedy, že pro matici m x m, která má nuly "napravo od vedlejší diagonály" platí, že její determinant je roven součinu prvků ve vedlejší diagonále (nazveme ho $\xi$ ) se znaménkem:

$m=4k \vee m=4k+1, k\in \mathbb{N}; det(A)=\xi \\ m=4k+2 \vee m=4k+3 ,k\in \mathbb{N}; det(A)= - \xi$

Tedy v mé matici na začátku by byla odpověď:
pro $a=4k \vee a=4k+1$ je $det(A)=a!$
a pro $a=4k+2 \vee a=4k+3$ je $det(A)=-a!$

Bude to správně?