Matematické Fórum

Ta množina vypadá jako obdélník.

Tak ono to ze zápisu vypadá (on není úplně jednoznačny, ale budiž), že bude z <0,2> a z <-1,2>.

Na hranici budete resit extrem jedne promenne, zadne jakobiany netreba.

Tak tedy jinak:

Víte, jak vypadá graf funkce, která bere dvě proměnné? Máte dvojrozměrnou plochu, ze které berete vstupní proměnné (x, y) a do třetího rozměru se promítají jejich funkční hodnoty. Na vnitřní části té množiny se extrémy hledají jednoduše, tam najdete podezřelé body pomocí derivací (nebo jejich absencí) a ty pak ověříte pomocí jakobiánu/hesse/nevímčeho.

Problém je na hranici té množiny. Tam derivace dělat nemůžete, protože

1) za tou hranicí ani ta funkce definovaná být nemusí

2) nulová derivace tam nic neznamená.

---

Zpět ke grafu. Vy řešíte tedy hranici toho obdélníku. To znamená, že pro dvě ze 4 hran máte zafixované x, pro druhé dvě máte zafixované y. Takže vlastně hledáte extrém na řezu té původní funkce... což je funkce jedné proměnné. (Můžete to brát jako parciální derivaci s jednou proměnnou dosazenou.)

---

Snad jsem to dostatečně vysvětlil, kdyžtak se ptejte dál.

Je třeba vědět, jaké body máte na mysli.

Když si nakreslíte ten obdélník, tak vidíte, že její pravá hrana má jednu věc společnou — všechny body mají x-ovu souřadnici rovnu dvěma. Dosadíte dvojku do funkčního předpisu a řešíte extrém funkce f(2,y) pro y z <-1,2>.

POZOR: Jak jsem již psal výše. Extrém na omezené množině může být i v krajním bodě (viz příklad y = x). Proto kromě bodů s nulovými derivacemi nás budou zajímat i ty rohy obdélníku. Jelikož derivace je definovaná všude, budou nás zajímat:

1) Stacionární body na vnitřku množiny.

2) Stacionární body na hranách.

3) Rohy.

Když tomu nerozumíte, tak zatím nejděte dále, prosím. Hezky postupně. Nakreslete si tu množinu napřed a zkuste tam najít ty "společné vlastnosti" těch hran. Vždy bude buď x, nebo y konstantní na každé hraně.

Super, takže na tom řezu budeme zkoumat extrémy funkce f(2,y), což jste už provedla. Teď si dejte pozor, aby ty stacionární body byly z toho intervalu, kde máme y, tj. <-1,2>.

Stejně tak postupujte u zbylých 3 hran a nezapomeňte na rohy.

Tam jde o to, jaké je zadání. Pokud se po tobě chce akorát absolutní extrém, tak jen porovnáš všechny ty podezřelé body (resp. jejich funkční hodnoty).

Pokud by šlo o lokální extrémy, tak bys to ještě dále musela vše počítat.

---

Já za chvíli odjíždím do víru velkoměsta, takže budu na příjmu jen částečně. Tak kdyby byl potřeba nějaký delší výklad, tak mě zde určitě někdo nahradí.

Podívej se na tuto fotku a představ si, že ta lahev je podélně rozříznuta, že jen ta horní část je grafem nějaké funkce. Dále si představ, že ten černý obdélník je naše funkce a dejme tomu, že v tom bodě, kde je hvězdička, je více propadnutá směrem dolů (aby tam byl absolutní extrém).

Pak jasně vidíš, že na té hraně, kterou jsem více zvýraznil, je lokální extrém (vyznačen křížkem)... je to jednoduchá funkce jedné proměnné, řez funkce dvou proměnných. Nic nám to ale neříká o tom, zda to je či není extrém celé funkce.

---

Opravdu mi tady chybí původní zadání té úlohy, jinak mohu pouze hádat. Snad jsem ti alespoň trochu přiblížil problematiku extrémů a konečně jsem využil ty válející se prázdné PET lahve :-)