Matematické Fórum

drabi · 16. 06. 2011 16:22

Ahoj,
prosím potřebovala bych pomoct s tímto příkladem:

má se na to použít řetízkové pravidlo, ale moc nerozumím, jak to tam mám napasovat.
Pokud si najdete chvíli a vysvětlíte mi co a jak, budu moc ráda
Díky

OiBobik

↑ drabi:

Úplně přímo:

$\frac{\partial g}{\partial u}(u,v)=\frac{\partial f}{\partial u}(u^2v,u^v)\cdot\frac{\partial (u^2v)}{\partial u}(u,v)+\frac{\partial f}{\partial v}(u^2v,u^v)\cdot\frac{\partial (u^v)}{\partial u}(u,v)$

Neboli užije se chain rule, s tím, že vnější funkce je f, vnitřní funkce jsou postupně u^2v, u^v.

Skryto (pravděpodobně to není potřeba):

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

drabi · 16. 06. 2011 17:04

↑ OiBobik:
díky, takže když to dosadím vyjde mi:
$\frac{\partial g}{\partial u}(u,v)=\frac{\partial f}{\partial u}(u^2v,u^v)\cdot\frac{\partial (u^2v)}{\partial u}(u,v)+\frac{\partial f}{\partial v}(u^2v,u^v)\cdot\frac{\partial (u^v)}{\partial u}(u,v) = \frac{\partial f}{\partial u}(4,2)\cdot\frac{\partial (u^2v)}{\partial u}(2,1) + \frac{\partial f}{\partial v}(4,2)\cdot\frac{\partial (u^v)}{\partial u}(2,1) = 4\cdot\frac{\partial f}{\partial u}(4,2)$

je to tak?

OiBobik

↑ drabi:

Ano, teď ještě dopočítej příslušné parciální derivace těch vnitřních funkcí v onom bodě (2,1) a po dosazení do tohoto výrazu bys měla dostat výsledek.

\\ edit: nevšiml jsem si, že ti ten zápis vylézá z obrazovky; tady jen pro pořádek je celé to, cos napsala:

$\frac{\partial g}{\partial u}(u,v)=\frac{\partial f}{\partial u}(u^2v,u^v)\cdot\frac{\partial (u^2v)}{\partial u}(u,v)+\frac{\partial f}{\partial v}(u^2v,u^v)\cdot\frac{\partial (u^v)}{\partial u}(u,v) = \\ =\frac{\partial f}{\partial u}(4,2)\cdot\frac{\partial (u^2v)}{\partial u}(2,1) + \frac{\partial f}{\partial v}(4,2)\cdot\frac{\partial (u^v)}{\partial u}(2,1) = 4\cdot\frac{\partial f}{\partial u}(4,2)$

// kam ti zmizelo to $\frac{\partial f}{\partial v}(4,2)\cdot\frac{\partial (u^v)}{\partial u}(2,1)$ ? vždyť $\frac{\partial (u^v)}{\partial u}(2,1)=(v\cdot u^{v-1})(2,1)=1\cdot 2^0=1 \neq 0$

drabi · 16. 06. 2011 17:12

$\frac{\partial f}{\partial u}(4,2)\cdot\frac{\partial (u^2v)}{\partial u}(2,1) + \frac{\partial f}{\partial v}(4,2)\cdot\frac{\partial (u^v)}{\partial u}(2,1) = 4\cdot\frac{\partial f}{\partial u}(4,2)$

asi se to nezobrazilo celé

OiBobik · 16. 06. 2011 17:21

↑ drabi:

reakce výše (v mezičase jsem to psal jako edit)

drabi · 16. 06. 2011 17:45

↑ OiBobik:
jasně upsala jsem se

takže výsledně je to takto:

$\frac{\partial g}{\partial u}(2,1) =\frac{\partial f}{\partial u}(4,2)\cdot\frac{\partial (u^2v)}{\partial u}(2,1) + \frac{\partial f}{\partial v}(4,2)\cdot\frac{\partial (u^v)}{\partial u}(2,1) = 4\cdot\frac{\partial f}{\partial u}(4,2) + \frac{\partial f}{\partial v}(4,2)$

díky moc za trpělivost:)

OiBobik

↑ drabi:

Ano, to by mělo být správně.

Není zač a hodně štěstí u Zajíčka (alespoň usuzuji z úlohy "sum(an*(cos^2)(n))/n)" a dalších). ; ))

drabi · 16. 06. 2011 17:57

↑ OiBobik:
díky:)) bude to třeba.. snad zase nevyhodí celý termín..

anes · 16. 06. 2011 18:30 — Editoval anes (16. 06. 2011 18:32)

Předpokládám, že to přeznačování proměnných za pochodu je konvence, kterou používáte, ale pro jistotu ještě dodám připomínku.
Mně se úplně nelíbí, ž ederivace podle u by měla na levé a pravé straně rovnítka znamenat něco jiného, takže bych radši napsal
$\frac{\partial g}{\partial u}(2,1) =\frac{\partial f}{\partial (u^2v)}(4,2)\cdot\frac{\partial (u^2v)}{\partial u}(2,1) + \frac{\partial f}{\partial (u^v)}(4,2)\cdot\frac{\partial (u^v)}{\partial u}(2,1) = 4\cdot\frac{\partial f}{\partial (u^2v)}(4,2) + \frac{\partial f}{\partial (u^v)}(4,2)$
Nebo $\frac{\partial g}{\partial u}(2,1) = 4\cdot \partial_1 f(4,2) + \partial_2 f(4,2)$

OiBobik

↑ anes:

Prosím, zřejmě se lišíme jenom ve tvaru zápisu, ale mně osobně se zase nelíbí ten tvůj zápis - u a v v "naší" rovnosti jsou zkrátka názvy proměnných (u značí první složku dvojrozměrného bodu, v značí druhou složku, chceš-li, tedy význam "derivace podle u, resp. v" je na obou stranách stejný - tedy "derivace podle první/druhé proměnné"). Pak naopak něco jako $\frac{\partial f}{\partial (u^2v)}$ nemá smysl zkrátka proto, že se takový symbol nijak nedefinuje (u^2v není označení žádné proměnné, ale zkrácený zápis funkce, která bodu (u,v) přiřadí bod (u^2v); ale zase, třeba je to zkrátka naše konvence).

// spíš bych viděl ze své strany chybu v zápisu $\frac{\partial (u^v)}{\partial u}$ apod. - takovým symbolem je zřejmě myšlena $\frac{\partial h_v}{\partial u}$ , kde $h_u, h_v$ jsou takové funkce, že $h:=(h_u,h_v)$ je zobrazení $h:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ a $g=f \circ h$ , tedy $h_u(u,v)=u^2v, h_v(u,v)=u^v$ / ovšem to bych řekl, že je přípustné zkrácení zápisu, které mnoho zmatků nevyvolá.

anes · 16. 06. 2011 20:52 — Editoval anes (16. 06. 2011 20:54)

↑ OiBobik:
Teď koukám, že dokonce víš, ke komu jde drabi na zkoušku (předtím jsem přehlédl), takže pak není co řešit.
Jinak uznávám, že $\frac{\partial f}{\partial (u^2v)}$ je taková prasárnička (jsem líný nějak pojmenovávat parametry f, tak rovnou chápu $(u^2v)$ jako jeden symbol), ale snad je jasné, o co mi šlo.
Vlastně to není o moc jiné, než to, co píšeš ty k tomu výrazu $\frac{\partial (u^v)}{\partial u}$ . Zápisem $g(u,v) = f(u^2v, u^v)$ , $\frac{\partial f}{\partial (u^2v)}$ míním, že f je funkce, (u^2v) je jeden z jejích parametrů, tak nemysli a derivuj.
// Když nad tím tak přemýšlím, tak tohle je asi spíš deformace z fyzikálnách předmětů, ale viděl jsem takový zápis i v něčí matematice (na nějaké technice, určitě nic formálního, ale viděl). V matematice bych asi čísloval (= to samé, co vy, jen imho trochu blbuvzdornější).

drabi · 16. 06. 2011 21:26 — Editoval drabi (16. 06. 2011 21:27)

↑ anes:
pánové,
pak potom stačí jenom přejmenovat problémovou část, nebo se pletu?
například
$x:= u^2v$
$y:=u^v$

a potom teda psát:

$\frac{\partial g}{\partial u}(2,1) =\frac{\partial f}{\partial x}(4,2)\cdot\frac{\partial (u^2v)}{\partial u}(2,1) + \frac{\partial f}{\partial y}(4,2)\cdot\frac{\partial(u^v)}{\partial u}(2,1) = 4\cdot\frac{\partial f}{\partial u}(4,2) + \frac{\partial f}{\partial v}(4,2)$

stačí to tak, aby to bylo korektní?

OiBobik

↑ drabi:

Korektní bude ten tebou použitý zápis, tj.
$\frac{\partial g}{\partial u}(2,1) =\frac{\partial f}{\partial x}(4,2)\cdot\frac{\partial (u^2v)}{\partial u}(2,1) + \frac{\partial f}{\partial y}(4,2)\cdot\frac{\partial(u^v)}{\partial u}(2,1) = 4\cdot\frac{\partial f}{\partial x}(4,2) + \frac{\partial f}{\partial y}(4,2)$

avšak až po vypuštění dodatku
$y:=u^v$ , $x:= u^2v$ ......... ten totiž nemá smysl

má smysl si označit $f=f(x,y)$ a pak použít onen zápis výše
důležité je právě to, že se chápe x, y jako označení některé proměnné (parametru) a ne jako nějaké funkce
(protože parciální derivace je derivace podle proměnné, ne podle obecné funkce; třeba by to šlo nějak zobecnit, ale ono už i když se dělá něco jako "derivace podle lineární formy proměnných", tj. derivace podle vektoru, tak už se tomu neříká parciální derivace)

Což je to, jak to tu všichni myslíme, ovšem použít $x_1,x_2$ , případně $x,y$ , nebo případně i zápis $\partial_1 f, \partial_2 f$ je nejbezpečnější, nejméně bezpečné je ale pak $\frac{\partial f}{\partial (u^2v)}$ - svádí to k oněm představám dělení nějakých nekonečně malých přírůstků a podobným heuristikám.

Asinkan · 16. 06. 2011 23:37

↑ anes:
JJ, toto není tak zavádějící....

drabi · 17. 06. 2011 07:47

↑ OiBobik:
jo souhlasím, díky moc

Matematické Fórum

#1 16. 06. 2011 16:22

Řetízkové pravidlo

#2 16. 06. 2011 16:52 — Editoval OiBobik (16. 06. 2011 17:05)

Re: Řetízkové pravidlo

#3 16. 06. 2011 17:04

Re: Řetízkové pravidlo

#4 16. 06. 2011 17:07 — Editoval OiBobik (16. 06. 2011 17:18)

Re: Řetízkové pravidlo

#5 16. 06. 2011 17:12

Re: Řetízkové pravidlo

#6 16. 06. 2011 17:21

Re: Řetízkové pravidlo

#7 16. 06. 2011 17:45

Re: Řetízkové pravidlo

#8 16. 06. 2011 17:50 — Editoval OiBobik (16. 06. 2011 18:18)

Re: Řetízkové pravidlo

#9 16. 06. 2011 17:57

Re: Řetízkové pravidlo

#10 16. 06. 2011 18:30 — Editoval anes (16. 06. 2011 18:32)

Re: Řetízkové pravidlo

#11 16. 06. 2011 19:03 — Editoval OiBobik (16. 06. 2011 19:13)

Re: Řetízkové pravidlo

#12 16. 06. 2011 20:52 — Editoval anes (16. 06. 2011 20:54)

Re: Řetízkové pravidlo

#13 16. 06. 2011 21:26 — Editoval drabi (16. 06. 2011 21:27)

Re: Řetízkové pravidlo

#14 16. 06. 2011 21:47 — Editoval OiBobik (16. 06. 2011 21:48)

Re: Řetízkové pravidlo

#15 16. 06. 2011 23:37

Re: Řetízkové pravidlo

#16 17. 06. 2011 07:47

Re: Řetízkové pravidlo

Zápatí