Matematické Fórum

↑ Lordikcz:
Smyslem je, že máš svaz, dokážeš tak vypočítat infima a suprema libovolných dvou prvků. Dále předpokládáme, že 0 je nejmenší prvek svazu a 1 největší prvek svazu. A nakonec residuovaný svaz obsahuje dvě operace: multiplikace, značí se , a residuum, . Multiplikace je jakási fuzzy alternativa konjunkce a residuum je fuzzy alternativa k implikaci. Multiplikace je dále asociativní a komutativní a 1 je neutrální prvek, tedy .

Dále očekáváme, že operace multiplikace a residuum splňují „adjointness property”: iff , což je takový „fuzzy modus ponens”. Tato podmínka je poměrně důležitá.

Operace multiplikace a residua si můžeš zvolit libovolně, pokud splňují předchozí vlastnosti. Nicméně jedna operace vždy jednoznačně určuje druhou. Existuje nicméně jedna struktura, která se zdá být nejrozumnější a která se jmenuje Lukasiewiczova a vypadá takto:




(Opakuji, že jedna operace definuje druhou — pokud jsme si multiplikaci zadefinovali tak, jak jsem ji napsal na první řádku, tak residuum musí být vypadat tak, jak jsem napsal na druhém řádku.)

To je jedna z možných podob těch dvou operací, ale má to poměrně hezké vyjádření. Pokud si za residuovaný svaz zvolíme jednotkový interval s klasickým uspořádáním, dostáváme tento smysl: pokud máme dvě pravdivostní hodnoty x=0,7 a y=0,6, tak ve fuzzy konjunkci nám vyjde výsledek 0,3. Smyslem je, že sečteme chyby, sečteme „vzdálenosti” od pravdy. Pravdou myslím pravdivostní stupeň 1. x má chybu 0,3 (1-0,7) a y 0,4. Tyto chyby sečteme: 0,7. Výsledná hodnota tak bude trpět chybou 0,7, tedy bude mít stupeň 0,3.

Residuum funguje trochu jinak — pokud máme formuli x→y, přičemž x<=y, pak dostaneme hodnotu 1. To sedí s klasickou implikací, protože pokud máme implikace m=>n a m <= n (to není obrácená implikace, ale relace menší nebo rovno :-)), pak je výsledek celé implikace vždy jedna. Ve fuzzy to vyjde stejně.  Pokud ale platí, že m > n, tak nám implikace dá nepravdu (1 => 0). Tady bychom opět mohli, že měříme chybu, jak moc se od sebe prvky liší. Jednička se od nuly liší o celou jedničku, takže chyba bude jedna a 1-1=0, takže výsledek bude nula, nepravda. Ve fuzzy to bude podobně — například 0,8→0,2 nám vyjde 0,4. Protože 0,8 se od 0,2 liší o 0,6, takže chyba bude 0,6 a výsledná pravdivostní hodnota bude 0,4.

Předchozí dva odstavce platí opravdu pouze pro Lukasiewiczovu strukturu, pro jiné definice operací multiplikace a residua to bude úplně jiné. Residuovaný svaz jen definuje nejzákladnější vlastnosti, které musí operace splňovat, především tu „adjointness property”. Pro zajímavost: v residuovaném svazu nemusí platit zákon dvojí negace: .