Matematické Fórum

8Bi · 22. 06. 2011 17:04

Zdravim,
prosím o kontrolu příkladu viz. obrázek

a dále bych se chtěl zeptat jak je to zde s oborem konvergence a se stejnosmernou konvergencí ?

Rumburak · 23. 06. 2011 09:26

Bohužel je to nečitelné (aspoň u mne).

Prochycz · 23. 06. 2011 09:36

↑ Rumburak: Když na obrázek kliknete a počkáte až se načte a potom na něj znovu kliknete, měla by se zobrazit už i čitelná podoba.

Rumburak · 23. 06. 2011 09:45

↑ Prochycz:

To všechno jsem zkoušel již prve. To první doporučené kliknutí zafungovalo, to druhé už ne. Ale mám už starší počítač s Win98,
snad je to tím.

jelena · 23. 06. 2011 09:59

Zdravím vás,

problém nečitelnosti a nedostupnosti obrázků je záležitost jen a jen autora dotazu. Pokud vážený kolega ↑ Rumburak: má ochotu překontrolovat a řekne, že je nečitelno, tak to tak prostě je.

Pokud někdo máte možnost uložit pomocí místního uploadu obrázku, potom o to prosím (mně se to nepodaří). Autora tématu o to také prosím a děkuji.

Včera jsem se pokoušela překontrolovat, zdá se, že idea postupu byla v pořádku, ale nečitelné to bylo a neměla jsem čas na popisování, ovšem "Ahoj" v pravém horním rohu, to jsem přečetla a děkuji :-)

zdenek1 · 23. 06. 2011 10:20

Rumburak · 23. 06. 2011 10:46

↑ 8Bi:
Díky kolegovi Zdeňkovi ↑ zdenek1: už to mám v podobě, kterou jsem schopen přečíst, a podívám se na to.
Jen ještě potřebuji znát přesné zadání , tj. na kterém intervalu a podle kterého ortog. systému rozvíjíme - z postupu v řešení
se sice dé leccos vyčíst, ale stává se i to, že řešitel to poplete a řeší něco jiného, než řešit měl, takže proto.

8Bi · 23. 06. 2011 13:45

Omlouvám se za problémy s nečitelností obrázku.
Zde je plný náhled. obrázek
Zadání znělo : Nalezněte Fourierovu řadu na intervalu <-pi , pi ), její obor konvergence a dále uveďte příklady kde konverguje stejnoměrně a kde ne. Nicméně s konvergencí si zde nevím rady.

Rumburak

↑ 8Bi:
Mně vyšlo $a_0$ stejně, ale

$a_k = \frac{2(-1)^k}{k^2}, \,\,b_k = \frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi^2}{k} + \frac{2}{k^3}\left(1-(-1)^k\right) \right) , k = 1, 2, 3, ...$ .

Avšak nevím, zda mohu ručit za správnost, takto složité počty mi už moc nejdou a na dnešek jsem málo spal. :(

Ke konvergenci příslušné F. řady:

v $(-\pi, \pi)$ lokálně stejnoměrně k funkci f , neboť fce f je v $[-\pi, \pi]$ monototonní, tedy tam má konečnou variaci , a spojitá.
V krajních bodech tohoto intervalu konverguje k hodnotě $\frac{f(-\pi) + f(\pi)}{2}$ . Viz Dirichlet-Jordanovo kriterium .

8Bi · 24. 06. 2011 18:57

Děkuji za pomoc, chybu jsem našel a ak už mi vychází stejné jako Vám, bk téměř také. Nicméně konvergenci tu stále nerozumím. Dočetl jsem se že FŘ konverguje na R pokud je funkce f po částech hladká je to pravda ?

Rumburak

↑ 8Bi:

Předpokládejme, že funkce $f$ je $2\pi$ periorická a má konečný Lebesgueův integrál na některém intervalu J délky $2\pi$ .
Pak má díky své periodičnosti konečný L. integrál na libovolném interval délky $2\pi$ a všechny tyto integrály jsou si rovny.
Tutéž vlastnost mají i funkce cos kx, sin kx, podle nichž se funkce f rozvíjí do F. řady na intervalu J, takže je celkem lhostejné,
který interval délky $2\pi$ zvolíme za J, na němž funkci rozvíjíme. Pouze pro větší přehlednost nechť $J =[-\pi, \pi]$ .

Splňuje-li funkce f výše uvedené přadpoklady, má na intervalu J Fourierovu řadu

(1) $F(x) :=\frac {a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}(a_k \sin kx + b_k \cos kx )$ .

která konverguje (k čemusi) skoro všude v intervalu J, což znamená, že množina bodů intervalu J, v nichž řada diverguje,
má Lebesgueovu míru 0.

Zajímají nás předpoklady o chování funkce v bodě x resp. jeho okolí takové, které by zajistily splnění rovnosti

(2) $F(x) = f(x)$ .

I. Má-li funkce f v bodě x vlastní derivaci, potom (2).

II. (Dirichlet-Jordanovo kriterium) Je-li interval $[u, v]$ částí J takový, že funkci f lze na něm vyjádřit jako rozdíl dvou funkcí,
které jsou na tomto intervalu monotonní (což je ekvivalentní s tím, že f má na tomto intervalu konečnou variaci), potom
pro každé $x\in(u, v)$ je

$F(x) = \frac{1}{2}\left(\lim_{t \to x -}f(t) + \lim_{t \to x +}f(t) \right)$ .

Jestliže NAVÍC je funkce f spojitá v bodě x, pak z předchozí rovnosti plyne (2).

Odtud se dá (za příslušných předpokladů) odvodit i rovnost $F(x) = \frac{1}{2}\left(f(-\pi) + f(\pi) \right)$ pro $x \in \{-\pi, \pi\}$ .