Matematické Fórum

ttopi · 08. 07. 2008 12:15

Jak v jaké vzdálenosti? Pokud by se hla jen o kousíček od středu, liška by se tam hned rozeběhla tak, aby byla co nejblíž. Podle mě je nejkratší cesta ze středu ke kraji, což je 3 metry :-)

Cheop · 08. 07. 2008 12:18 — Editoval Cheop (08. 07. 2008 12:23)

↑ ttopi:
Což, ale není pravda.
Tvoje první rovnice je v pořádku. Ta kachna to musí udělat tak, aby lišku donutila oběhnout polovinu obvodu jezírka

ttopi · 08. 07. 2008 15:56

Vždy? jsem to ale psal. Podívá se, kde stojí liška a poplave přesně směrem od ní.
Napiš tedy správné řešení, jinak už to asi nevymyslím :-)

Chrpa · 08. 07. 2008 17:12 — Editoval Chrpa (08. 07. 2008 17:13)

Píšu jako Chrpa = Cheop
Malá nápověda:
Ta kachna bude plavat na soustředné kružnici tak, aby její relativní rychlost ve vodě byla stejná jako rychlost lišky na břehu
Teď už bys měl sestavit správně i druhou rovnici a vypočítat požadované rychlosti.

ttopi · 08. 07. 2008 18:49

Aha, tak to mě nenapadlo. Já myslel, že nejefektivnější cesta je ta nejkratší, což je ta od středu ke kraji, čili 3 metry.
Zdá se tedy, že řešení může být i více, protože moje navrhované řešení zdá se odpovídá celkem výsledku.

Cheop · 09. 07. 2008 06:40

↑ ttopi:
Upozorňuji, že výsledek je jen jeden

Cheop · 09. 07. 2008 08:15 — Editoval Cheop (09. 07. 2008 10:30)

Ještě k úloze
"Líný vrabec"
Úloha se dá řešit i takto:
Dle obrázku musí platit:

$\frac x1=\frac{15-x}{3}\nl3x=15-x\nl4x=15\nlx=\frac{15}{4}=3,75\,m$

Vzdálenost, ve které musí vrabec sezobnout žížalu je 3,75 m od plotu.
Pokud vzdálenost x dosadíme do rovnice:
$\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(15-x)^2+9}\rightarrow\quad min$ pak vrabec proletí vzdálenost:
$y=15,524\,m$
Nebo celková vzdálenost vrabce je: (dle obrázku)
$\sqrt{15^2+4^2}=\sqrt{241}\approx\,15,524\,m$

Cheop · 09. 07. 2008 09:37 — Editoval Cheop (09. 07. 2008 09:50)

K požadavku paní Jeleny ohledně pěkných řešení.
U úlohy Líný vrabec by zadání mohlo být toto: (pak výsledek vyjde pěkné číslo)

Vrabec sedí na plotu vysokém 3 m. Ve vzdálenosti 12 m od plotu je strom, který má větev ve výšce 6 m.
Mezi plotem a stromem jsou hustě rozesety žížaly.
V jaké vzdálenosti od plotu musí vrabec sezobnout žížalu, aby proletěl trasu plot - žížala - větev po přímkách a po nejkratší dráze.

Jelenko můžeš počítat (všechna čísla by měla vyjít pěkně).

ttopi · 09. 07. 2008 09:40

↑ Chrpa:
S těma soustřednýma kružnicema. Chápu to dobře tak, že kachna popluje na kružnici o 3x menším obvodu, aby se jejich rychlosti relativně vyrovnaly? Stejně pak ale musí udělat odbočku ke kraji ne?
Napiš mi už to řešení, říkám, nic víc nevymyslím, než jsem napsal :-)

Cheop · 09. 07. 2008 10:09 — Editoval Cheop (09. 07. 2008 11:54)

Dobře tady máš řešení:
Označme: v - rychlost lišky
v/3 - rychlost kachny (dle zadání)
t - čas lišky při honbě kachny
r - poloměr jezírka (3 m) - dle zadání
r1 - poloměr soustředné kružnice na ktaré plave kachna
x - vzdálenost, kterou musí kachna uplavat ke břehu
Pak musí platit:
$v\cdot t=3\pi$ (1/2 obvodu jezírka - tuto vzdálenost musí uběhnout liška)
$r_1=\frac r3=\frac33=1$ (soustředná kružnice bude mít poloměr 1 m) - relativní rychlost lišky a kachny je stejná
$x=r-r_1=3-1=2$ (tuto vzdálenost nusí uplavat kachna)
$\frac v3(t-1)=2$
$v\cdot t-v=6$
$3\pi-v=6\nlv=3(\pi-2)\approx\,3,42\,m\cdot s\tiny^{-1}$ rychlost lišky
$\frac v3=\frac {3,42}{3}\approx\,1,14\,m\cdot s\tiny^{-1}$ rychlost kachny

Jak ttopi vídíš, tak kachna nepoplave ve vodě 3 m, ale pouze metry dva. Z hranice soustředné kružnice ke břehu.

jelena · 09. 07. 2008 10:26

↑ Cheop:

Zdravim :-)

dekuji moc za odpoved a take za cisla - vedela jsem, koho o to pozadat, prece spravny ekonom musi umet vyrobit oku lahodici data :-)

Ja treba pracovne matematiku temer nepotrebuji, az na zpracovani vysledku - to mi staci EXCEL, vypocet procent a pocitani tak do 200 (i mene mozna) - s tim si vystacim docela dobre (ani vyplatu si nekontroluji, verim ekonomum :-) Psat ale musim moooc a ted opet budu (dopijim kavu a pujdu pokracovat ve psani :-)

↑ ttopi:

Take zdravim :-)

Pomucku to chce - tuzky s provazkem + spendliky :-) a kreslit :-)

Cheop · 09. 07. 2008 12:04

Aby "Fórum" přes prázdniny nezakrnělo mám tady trochu zamotaný příklad. (Když se rozmotá tak to není tak zlé).

Zadání:
Ivan a Emil
Ivanovi a Emilovi je dohromady 86 let. Počet let Ivana tvoří 15/16 stáří,
kterého dosáhne Emil, až věk Ivana bude 9/16 takového počtu let,
kterého by Emil dosáhl, kdyby se dožil takového stáří, které je 2x větší
než počet let Ivana v okamžiku, kdy bude Ivan 2x starší než Emil. Jak jsou staří?

ttopi · 09. 07. 2008 14:42 — Editoval ttopi (09. 07. 2008 14:51)

Vychází celá čísla? Mě zatím nějak ne :-(
Napíšu postup, který jsem zvolil.
$I+E=86 \nl I=\frac{15}{16}A \nl A=B=\frac{9}{16}C \nl C=2D \nl D=2E$
Kde jsem si písmeny A,B,C,D označil věky různých podmínek a rozepsal si, co podínka musí splňovat.
To jsem dal dohromady a vyšlo mi
$I=58,34let \nl E=27,66 let$
což je samozřejmě špatně. A teď, kde je chyba :-)

EDIT:Sám tuším, že problém bude nejspíš v tom posledním E, protože E má být současný věk Emila a já použil E i pro věk, který je podmíněný určitými předchozími podmínkami.

Cheop · 09. 07. 2008 15:00 — Editoval Cheop (10. 07. 2008 10:58)

Kávomil

Délka části kruhu L je vlastně obvod podstavy kužele.
Musí tedy platit:
$2\pi\cdot r_k=\frac{2\pi\cdot r\cdot\alpha}{360}\nl\alpha=\frac{360\cdot r_k}{r}\,\,(1)$
Z pravého obrázku platí:
$v_k=\sqrt{r^2-r_k^2}$
Objem kužele
$V=\frac{\pi\cdot r_k^2\cdot v_k}{3}$ - má být maximální
$V=\frac{\pi\cdot r_k^2\cdot \sqrt{r^2-r_k^2}}{3}\rightarrow\,max$ derivujeme dle $r_k$ a dostaneme:
$4r_k^3\cdot r^2-6r_k^5\rightarrow\,max$ vydělíme $r_k^3$ a dostaneme:
$r_k^2=\frac{2r^2}{3}$ dopočítáme $v_k$
$r_k=\frac{r\cdot \sqrt 6}{3}$ dosadíme do rovnice (1) a dostaneme:
$v_k=\sqrt{r^2-r_k^2}=\frac{r\cdot \sqrt 3}{3}$
$\alpha=\frac{360\cdot r\cdot\sqr6}{3r}\nl\alpha=120\cdot\sqrt6\approx\,294{^\circ}$

Cheop · 09. 07. 2008 15:01 — Editoval Cheop (09. 07. 2008 15:03)

↑ ttopi:
Vychází pěkná celá čísla
Co říkáš lišce?

ttopi · 09. 07. 2008 15:18 — Editoval ttopi (09. 07. 2008 15:19)

↑ Cheop:

Výsledek lišky je perfektní, ale Ivan s Emilem už méně :-))

Máš nějakou osobní úvahu jak na Ivana s Emilem? Mrkni se na mou úvahu a zkus zjistit, kde nastala chyba.

ttopi · 09. 07. 2008 15:21 — Editoval ttopi (09. 07. 2008 15:25)

Taky něco přihodím. Možná někdo znáte stránku, ze které budu úlohy čerpat, ale to nevadí, ti kteří neznají, a? si započítají :-)

Petr Zaspal

Petr jezdí do školy autobusem, který odjíždí ze zastávky v 7:20. Z domova obvykle vychází v 7:00. Dnes se ale zpozdil a proto šel 1,2x rychleji. Na zastávku přišel o 4 minuty později než obvykle a autobus byl již dvě minuty pryč. V kolik hodin se dnes Petr vypravil z domova?

EDIT: Úloha je značně jednoduchá, sám jsem si jí teď bleskurychle vyřešil, ale i tak je to dobrá zábava na chvíli :-)

Chrpa · 09. 07. 2008 16:22 — Editoval Chrpa (09. 07. 2008 16:24)

↑ ttopi:
Na zastávku přišel v 7 hodin 22 minut (20 + 4 - 2 = 22)
Normálně mu cesta trvala 18 minut. (20 - 2 = 18)
Protože šel 1,2 x rychleji, tak mu cesta tentokrát trvala 1,2 x kratší čas tj. 18/1,2 = 15 minut
Protože přišel na zastávku v 7 hodin 22 minut, pak z domova vyšel 7:22 - 15 = 7 hodin 07 minut

ttopi · 09. 07. 2008 16:26 — Editoval ttopi (09. 07. 2008 16:30)

↑ Chrpa:
Uznávám, moc lehký, to bylo na rozcvičku :-)

Další:

Oslava narozenin
Ondřej vypočítává Vojtovi, kolik příbuzných se sešlo na oslavě jeho narozenin:

2 otcové, 2 matky, 2 synové, 1 dcera, 2 ženatí muži, 2 vdané ženy, 1 sestra, 1 bratr, 1 tchán, 1 tchýně, 1 dědeček, 1 babička, 1 snacha, 2 vnoučata. Kolik tam bylo lidí?

Manželské páry
Petr, Pavel a Ivan a jejich manželky Ivana, Alena a Jana mají dohromady 151 let. Každý muž je starší o 5 let než jeho manželka. Petr je o rok starší než Alena, Ivana a Petr mají dohromady 48 let, Ivana a Ivan 52 let. Určete manželské páry a stáří jednotlivých osob.

Veslařské závody
Dva sportovci se připravovali na veslařské závody, a proto trénovali. Jeden trénoval na řece. Vesloval jednou proti proudu, jednou po proudu. Druhý vesloval na téže vzdálenosti na jezeře. Oba veslaři byli na stejné úrovni a vynakládali tutéž energii, vyvíjeli tutéž rychlost po celou dobu tréninku. (kdyby byli oba na řece nebo na jezeře, plavali by stále vedle sebe a do cíle by přišli současně.) Kdo byl v cíli dřív?

Věk fotbalisty
Průměrný věk mužstva hráčů kopané je 22 let. Po odchodu zraněného hráče je průměrný věk zbylých hráčů 21 let. Kolik roků je zraněnému hráči?

Chrpa · 09. 07. 2008 19:02 — Editoval Chrpa (09. 07. 2008 19:05)

↑ ttopi:
Oslava narozenin: sešlo se 6 příbuzných.
Věk fotbalisty 32 let x=11*22 --10*21 = 32

ttopi · 09. 07. 2008 19:03 — Editoval ttopi (09. 07. 2008 19:05)

Obojí Správně :-)

Chrpa · 09. 07. 2008 19:22 — Editoval Chrpa (09. 07. 2008 19:23)

↑ ttopi:
Zkus to řešit pozpátku, tj.vyjádři s ipočet let, kdy bude Ivan 2x starší než Emil

ttopi · 09. 07. 2008 19:33

↑ Chrpa:
Tam je problém v tom, že se tam vyskytuje "kdyby se dožil" , "kdy bude" ... Z toho se to těžko počítá. 86 není celočíselně dělitelná 3, takže se s tím těžkce pracuje...
Spíš bych chtěl najít chybu v mé úvaze :-)

Chrpa · 09. 07. 2008 19:35 — Editoval Chrpa (09. 07. 2008 19:38)

Závody
označme: v - rychlost veslaře na jezeře
vr - rychlost proudu řeky
rychlost veslaře na řece bude - po proudu: v + vp
proti proudu v - vp
Průměrná rychlost veslaře na řece bude:
$v_x=\frac{2(v+v_p)(v-v_p)}{v+v_p+v-v_p}\nlv_x=\frac{v^2-v_p^2}{v}$
$v_x=v-\frac{v_p^2}{v}$
Rychlost veslaře na jezeře je $v$
$v_x<\,v$
V cíli bude dříve veslař na jezeře

ttopi · 09. 07. 2008 21:24 — Editoval ttopi (09. 07. 2008 21:26)

Možná už někdo zná tyto stránky. Je tu spousta dobrých relaxačních her s opravdu širokou škálou možností nastavení. Opravdu si to projeďte.
Je tam třeba hra, kde máte odhadovat těžiště, střed kružnice opsané, nebo doplňovat čísla (přirozená, komplexní...) mezi operační znaménka tak, aby byl správný výsledek a spousta dalších jiných her.
Tady to je, příjemnou zábavu :-)

1.stránka - tady si dejte třeba "Triangular shoot"

a

2.stránka - tady zkuste "Arithmetic tables" s nějakým těžším nastavením.

Opravdu se u toho dá pobavit apopřemejšlet, což vám procvičí mozek :-)

Cíleně jsem hledal(a) nějaké Matematické fórum.		30% - 82
Hledal(a) jsem pomoc s matematikou (jsem studující).		37% - 101
Hledal(a) jsem pomoc s matematikou (jsem vyučující).		1% - 4
Potřeboval(a) jsem řešení problému z praxe.		3% - 8
Fórum mi bylo doporučeno.		5% - 14
Jiná cesta, případně doplním v tématu "O nás :-)".		4% - 13
V čtenářském deníku mi chybela kniha "Stařec a moře".		1% - 5
Hledal(a) jsem zdroj řešení projektů svých studentů.		0% - 2
Hledal(a) jsem kružítko.		5% - 15
Už si nepamatuji.		8% - 22
Počet hlasujících: 228

Matematické Fórum

Anketa

#126 08. 07. 2008 12:15

Re: O nas :-)

#127 08. 07. 2008 12:18 — Editoval Cheop (08. 07. 2008 12:23)

Re: O nas :-)

#128 08. 07. 2008 15:56

Re: O nas :-)

#129 08. 07. 2008 17:12 — Editoval Chrpa (08. 07. 2008 17:13)

Re: O nas :-)

#130 08. 07. 2008 18:49

Re: O nas :-)

#131 09. 07. 2008 06:40

Re: O nas :-)

#132 09. 07. 2008 08:15 — Editoval Cheop (09. 07. 2008 10:30)

Re: O nas :-)

#133 09. 07. 2008 09:37 — Editoval Cheop (09. 07. 2008 09:50)

Re: O nas :-)

#134 09. 07. 2008 09:40

Re: O nas :-)

#135 09. 07. 2008 10:09 — Editoval Cheop (09. 07. 2008 11:54)

Re: O nas :-)

#136 09. 07. 2008 10:26

Re: O nas :-)

#137 09. 07. 2008 12:04

Re: O nas :-)

#138 09. 07. 2008 14:42 — Editoval ttopi (09. 07. 2008 14:51)

Re: O nas :-)

#139 09. 07. 2008 15:00 — Editoval Cheop (10. 07. 2008 10:58)

Re: O nas :-)

#140 09. 07. 2008 15:01 — Editoval Cheop (09. 07. 2008 15:03)

Re: O nas :-)

#141 09. 07. 2008 15:18 — Editoval ttopi (09. 07. 2008 15:19)

Re: O nas :-)

#142 09. 07. 2008 15:21 — Editoval ttopi (09. 07. 2008 15:25)

Re: O nas :-)

#143 09. 07. 2008 16:22 — Editoval Chrpa (09. 07. 2008 16:24)

Re: O nas :-)

#144 09. 07. 2008 16:26 — Editoval ttopi (09. 07. 2008 16:30)

Re: O nas :-)

#145 09. 07. 2008 19:02 — Editoval Chrpa (09. 07. 2008 19:05)

Re: O nas :-)

#146 09. 07. 2008 19:03 — Editoval ttopi (09. 07. 2008 19:05)

Re: O nas :-)

#147 09. 07. 2008 19:22 — Editoval Chrpa (09. 07. 2008 19:23)

Re: O nas :-)

#148 09. 07. 2008 19:33

Re: O nas :-)

#149 09. 07. 2008 19:35 — Editoval Chrpa (09. 07. 2008 19:38)

Re: O nas :-)

#150 09. 07. 2008 21:24 — Editoval ttopi (09. 07. 2008 21:26)

Re: O nas :-)

Zápatí