Matematické Fórum

drabi · 23. 06. 2011 20:32

Ahoj,
nevím si rady s tímto příkladem, vím, že jsem ten příklad už někde viděla, ale to řešení se mi vykouřilo z hlavy.
Mohl by mi s tím prosím někdo pomoct?

Děkuju moc

Cynyc · 24. 06. 2011 22:03 — Editoval Cynyc (24. 06. 2011 22:04)

Nevím, jestli to je tak, jak jste to dělali Vy, ale třeba takhle: věta, kterou potřebuješ, je Lagrangeova věta o střední hodnotě. Ta říká, že je-li funkce na intervalu <a,b> spojitá na na (a,b) diferencovatelná, pak existuje c z (a,b) takové, že $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Rozdíl mezi derivací a diferenciálem pro pevné h pomocí ní můžeme upravit takto:
$e(h)=|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|=|h|\left|\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(a)\right|=(*)$
a nyní použijeme Lagrangeovu větu na intervalu <a,a+h> nebo <a+h,a> podle toho, je-li h kladné či záporné (funkce sinus tam splňuje všechny předpoklady). Podle ní existuje mezi a a a+h takové h', že $f'(h') =\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ a můžeme tedy upravit
$(*)=|h||f'(a+h')-f'(a)|=|h|^2\left|\frac{f'(a+h')-f'(a)}{h}\right|=(**)$
a znovu Lagrangeova věta (derivace sinu, cosinus, opět splňuje předpoklady): existuje h'' mezi a a a+h', v němž je f'' rovna zlomku v absolutní hodnotě předchozího výrazu, a tedy
$(**)=|h|^2|f''(h'')|$
V našem případě je f''=-sin a tedy |f''(h'')|<=1, takže pro naši odchylku h=10^(-3) dostáváme horní odhad
$e(10^{-3})\leq(10^{-3})^2=10^{-6}$ .

drabi · 25. 06. 2011 10:26

↑ Cynyc:

jo bude to nejspíš ono, děkuju moc:)

Matematické Fórum

#1 23. 06. 2011 20:32

diferenciál

#2 24. 06. 2011 22:03 — Editoval Cynyc (24. 06. 2011 22:04)

Re: diferenciál

#3 25. 06. 2011 10:26

Re: diferenciál

Zápatí