Matematické Fórum

Lukáš Ba-mat-fyz · 24. 06. 2011 00:18

Zdravim,potrebujem poradiť.Ako zistiť suprémum (n/x)*sin(x/n) - 1?....neviem na to prist,skušal som prehodiť tu 1 na sinus ale to nepomôže len vzorec sin p - sin q je iny ako ked mám c*sin p - sinq...a derivacia tiež nič moc nedala

musixx · 24. 06. 2011 08:03

Funkce $f(y)=\frac{\sin y}y$ má v nule odstranitelnou singularitu a její přirozené dodefinování tam je $f(0)=1$ , čímž vznikne její jediné globální maximum. Pokud vezmeme tuto známou věc jako výchozí fakt, pak hledané suprémum je 0 pro každé přípustné n.

Cynyc · 24. 06. 2011 16:44

↑ musixx:
Lukáš to, obávám se, napsal nepřesně. Jak plyne z názvu příspěvku, zjišťuje stejnoměrnost konvergence, takže to suprémum chtěl zjevně hledat z absolutní hodnoty toho výrazu. A jeho vyjádření pro obecné n pomocí elementárních funkcí není možné, protože položíme-li derivaci sin x/x rovnou nule, dostáváme trancendentní rovnici. Ke zjištění stejnoměrnosti konvergence to ovšem není třeba: označím-li $f_n(x)=\frac{n}{x}\sin \frac{x}{n}$ , je $\forall n\in\mathbb{N}:\lim_{x\to\pm\infty}f_n=0$ a tedy $\sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)-1|=\sup_{x\in\mathbb{R}}(1-f_n(x))\geq 1$ , takže posloupnost $f_n$ nekonverguje na $\mathbb{R}$ stejnoměrně. Konverguje tam však lokálně stejnoměrně: zvolme si libovolný interval $\langle -K,K\rangle$ a $\varepsilon>0$ . Protože $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ , existuje takové $\delta>0$ , že $\frac{\sin x}{x}>1-\varepsilon$ na $(-\delta,\delta)$ . Pro $n>\frac{K}{\delta}$ tedy bude pro každé $x\in\langle -K,K\rangle$ platit $\left|\frac{x}{n}\right|\leq \frac{K}{n}<\delta$ a odtud $f_n(x)>1-\varepsilon$ , takže $\sup_{x\in\langle -K,K\rangle}(1-f_n(x))<\varepsilon$ , CBD.

Matematické Fórum

#1 24. 06. 2011 00:18

rovnomerna konvergencia

#2 24. 06. 2011 08:03

Re: rovnomerna konvergencia

#3 24. 06. 2011 16:44

Re: rovnomerna konvergencia

Zápatí