Matematické Fórum

Sulfan · 27. 06. 2011 10:47 — Editoval Sulfan (27. 06. 2011 11:04)

Ahoj,
chtěl bych se zeptat, co přesně znamená, že jsou dvě množiny ekvivalentní. Příkládám definici ze skript:

To znamená, že každá funkce (zobrazení), která je prostá a vzory jsou v množině A a obrazy jsou v množině B, pak pro ně platí A~B?

Například: $f(x)=x^3$ , potom $D_{f}=H_{f}=\mathbb{R}$
nebo $f(x)=cos(x),x\in \left \langle 0; \right \pi \rangle$ , potom je množina $\left \langle -1; \right1 \rangle$ ekvivalentní s množinou $\left \langle 0; \right \pi \rangle$ ?

A následně, pokud máme zjistit, zda jsou dvě množiny ekvivalentní, pak stačí najít libovolnou funkci, která bude mít $D_{f}=A$ a $H_{f}=B$ ?

Děkuji za odpověď.

Edit: špatné násobky pi

musixx · 27. 06. 2011 11:02 — Editoval musixx (27. 06. 2011 11:07)

Trochu skripta hrající si se slovíčky, řekl bych, a pomíjející to, co vlastně chceme popsat.

Je rozdíl mezi

-- zobrazením množiny A do množiny B
-- zobrazením množiny A na množinu B
-- zobrazením z množiny A do množiny B
-- zobrazením z množiny A na množinu B

V prvním a druhém má každý prvek z A nějaký obraz, ve třetím a čtvrtém tomu tak být nemusí.
Ve druhém a čtvrtém má každý prvek z B nějaký vzor, v prvním a třetím tomu tak být nemusí.

Injektivní zobrazení na množinu je tedy bijekce, a to je také obvyklá (neslovíčkařící a na první pohled symetrická) definice ekvivalentních množin.

EDIT: Proto jsou tebou uvedené příklady opravdu důkazy ekvivalencí množin, neboť jde na uvažovaných definičních oborech o bijekce. Obecně je teda třeba najít nejen nějaké zobrazení jedné množiny na druhou, ale bijektivní zobrazení.

Sulfan · 27. 06. 2011 11:15

↑ musixx: Máte naprostou pravdu s těmi předložkami "na" a "do". V jiných definicích ve skriptech se používá jiného slova a já si toho ani nevšiml. Nevím, jestli jsem všechny ty informace pochopil správně, ale zeptám se:

Pokud tedy zobrazujeme do množiny, pak stačí vědět, že pro každý prvek z A najdeme jeho obraz, ale o obrazy se nestaráme.
Když zobrazujeme na množinu, pak to znamená surjektivitu? ("ke každému obrazu nalezneme vzor", ale dál se o vzory nestaráme)

Takže když je injektivní zobrazení zároveň bijektivní, pak jsou množiny ekvivalentní?

Jinak se omlouvám za zjednodušování a za neexaktnost, chci pochopit definici :D

LukasM · 27. 06. 2011 11:46 — Editoval LukasM (27. 06. 2011 13:11)

↑ Sulfan:
Já bych to možná trochu poupravil.

Pokud zobrazujeme množinu do množiny, pak víme, že pro každý prvek z A najdeme jeho obraz v B, ale o obrazy se "nestaráme" (v tom smyslu, že nehlídáme jestli každý prvek B je obrazek něčeho z A).
Např. sin(x) je zobrazení R do R, ale ne R na R.

Pokud zobrazujeme na množinu, znamená to surjektivitu, to ano. Ovšem formulace "ke každému obrazu najdeme vzor" mi připadá jako tautologie. Surjektivita znamená, že každý prvek množiny B je obrazem nějakého prvku z množiny A.

Pokud je zobrazení bijektivní (v tom už je schovaná injektivita, takže netřeba ji ještě požadovat zvlášť), pak jsou množiny ekvivalentní.

Jak píše (srozumitelněji) ↑ musixx:, množiny jsou ekvivalentní, pokud existuje bijekce jedné množiny na druhou. Tedy pokud jde najít způsob, aby každý prvek z jedné množiny držel za ručičku právě jeden prvek z té druhé.

Edit: Jinak tobě jistě známý asistent Pytlíček považoval rozdíl mezi pojmy zobrazení množiny/z množiny za naprosto zřejmý, taky jsem v tom měl chvíli guláš :-)
Snad jsem v tom výkladu neplácl něco špatně, kolega musixx to jistě zkontroluje. Děkuji.

Rumburak

↑ Sulfan:
Kolega ↑ musixx: momentálně není připojen, tak snad nebude vadit, když se pokusím na dotazy odpovědět místo něho.

Předpokládejme, že f je zobrazení (funkce).

I. Výrok "f zobrazuje A do B" znamená, že pro každé $x \in A$ je $f(x) \in B$ . Tím definice končí - pro její naplnění už žádné další
vlastnosti množin A, B ani funkce f nejsou potřeba.

II. Výrok "f zobrazuje A na B" znamená, že pro každé $x \in A$ je $f(x) \in B$ (jako prve), ale k tomu ještě něco navíc , a sice
že pro každé $b \in B$ existuje $x \in A$ tak, že $b = f(x)$ . Tento případ není v rozporu s případem I, ale je jeho zvláštní (speciální)
variantou.

Místo "f zobrazuje A na B" se též říká "f zobrazuje A do B surjektivně" , "zobrazení f: A do B je surjekce" a podobně .

Ale aby se v těchto úvahách neutopila podstata ekvivalence množin, uveďme příklad.
Máme na stole hromadu příborových nožů (považujme ji za množinu N) a hromadu vidliček (považujme ji za množinu V) . Chceme zjistit,
zda je vidliček stejný počet jako nožů. Můžeme samožřejmě spočítat nože i vidličky a oba výsledky porovnat. Ale pokud nás zajímá pouze
vzájemné porovnání těchto čísel a ne čísla sama, pak můžeme postupovat i tak, že

(1) vezmeme jeden nůž z hromady nožů a jednu vidličku z hromady vidliček a dvojici odložíme stranou,

(2) krok (1) provádáme tak dlouho, dokud některá z obou hromad není vyčerpána.

Jistě není třeba rozebírat, jak a k jakým závěrům můžeme na základě tohoto algoritmu dospět. Pouze uvedu to, že opakováním kroku (1)
do vyčerpání některé z hromad vlastně konstruujeme jakési zobrazení (obecně z množiny N do množiny V resp. naopak, podle toho,
zda v odložené dvojici považujeme za její první prvek vžy nůž nebo vždy vidličku), toto zobrazení je zřejmě injektivní. Případ, kdy dojde
k vyčerpání obou hromad zároveň, znamená, že takto sestrojené zobrazení je dokonce bijekcí N na V (resp. V na N).

Sulfan · 27. 06. 2011 13:02

↑ Rumburak:↑ LukasM: díky oběma! :) , myslím, že jsem to všechno pochopil včetně dodatečných pojmů.

musixx · 27. 06. 2011 13:12

Děkuji za další příklady i jiné formulace stále toho téhož. Jistě jsou užitečné.

Osobně termín "zobrazení na množinu" nepoužívám, užívám pouze "zobrazení do" a případnou surjektivitu extra zmíním stejně, jak píše ↑ Rumburak: ("místo 'f zobrazuje A na B' se též říká 'f zobrazuje A do B surjektivně'"). To "na" se dá snadno přeslechnout a i přeřeknout a většinou je podstata tvrzení jinde, než ve slovíčkaření do/na.

Termín "zobrazení z množiny" (tzv. parciální zobrazení) bez nějakého dalšího explicitního upozornění je snad ještě horší případ, použití bych viděl tak maximálně třikrát za deset let, pak už je to na blázinec.

Matematické Fórum

#1 27. 06. 2011 10:47 — Editoval Sulfan (27. 06. 2011 11:04)

Ekvivalence množin

Code:

#2 27. 06. 2011 11:02 — Editoval musixx (27. 06. 2011 11:07)

Re: Ekvivalence množin

#3 27. 06. 2011 11:15

Re: Ekvivalence množin

#4 27. 06. 2011 11:46 — Editoval LukasM (27. 06. 2011 13:11)

Re: Ekvivalence množin

#5 27. 06. 2011 12:19 — Editoval Rumburak (27. 06. 2011 14:45)

Re: Ekvivalence množin

#6 27. 06. 2011 13:02

Re: Ekvivalence množin

#7 27. 06. 2011 13:12

Re: Ekvivalence množin

Zápatí