Matematické Fórum

xlnc · 30. 06. 2011 00:36

Je dána kupříkladu posloupnost 2, 3, 5, 9, 17, 33, ...

Jakým postupem se dobrat vztahu závislosti mezi členy a(n+1)=2*a(n)-1? Posloupnost není ani aritmetická, ani geometrická...

Není problém dopočítávat členy, pokud bych použil jakési zobrazení

1 .. 2
2 .. 3
3 .. 5
4 .. 9
5 .. 17

a nasadil lineárni regresi, nicméně otázka je skutečně položená tak, jakým způsobem se dobrat vztahu a(n+1)=2*a(n)-1 jinak, než na základě intuice, resp. "prozřetelnosti" (jako u příkladů, kde je potřeba aplikovat správnou substituci). Jistě, budou existovat nějaké předpoklady - řekněme obecný vztah a(n+1) = k1*a(n)+k2, a otázka tedy zní, jak dopočítat k1 a k2. Myslím, že na to by měla stačit logika a středoškolská matematika, ale nějak jsem se na tom zaseknul.

Děkuji za reakce.

Michaerl

Ahoj, co třeba úvaha....

odečtením 1 od všech členů získáváme posloupnost n-té mocniny 2... (1,2,4,8,16)

pro n-tý člen by platilo $a_n= \color{red}1 \color{black}+ 2^{n - 1}$ // (1) zpátky přičteme 1

a podobnou úvahou můžeme tvrdit , že bezprostředně předcházející člen je dvakrát menší než člen před ním(po odečtení 1)...

a(n+1) = 2a(n) // (1,2,4,8,16)

teď zpětným vrácením (1)

$a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$ - to samozřejmě neplatí (1=2) - odečteme jedničku na pravé straně
$a_{n+1} = 2a_n - 1$ - tady už je a(n+1) a a(n) z požadované posloupnosti

xlnc · 30. 06. 2011 09:25

↑ Michaerl:

Včera jsem se trochu vrátil k pojmům, takže úlohou bylo vlastně definovat rekurentní vzorec posloupnosti definované výčtem. Podíval jsem se také na téma diferenční rovnice a obrazcová čísla.

Jinými slovy, pro postup je dobrá znalost jiných posloupností. Vlastně jsem si uvědomil, že podobné úlohy jsou předmětem otázek IQ testů (zjišťování chybějících členů posloupnosti).

Pro tuto chvíli děkuji za odpověď.

Matematické Fórum

#1 30. 06. 2011 00:36

Posloupnost obecného typu s lineární závislostí mezi členy

#2 30. 06. 2011 02:39 — Editoval Michaerl (30. 06. 2011 03:12)

Re: Posloupnost obecného typu s lineární závislostí mezi členy

#3 30. 06. 2011 09:25

Re: Posloupnost obecného typu s lineární závislostí mezi členy

Zápatí