Matematické Fórum

zuzaka.stohelitska · 12. 07. 2011 12:29

Ahoj,
potřebovala bych, prosím, poradit... Nevím si rady s obecným řešením téhle rovnice:

$ax=ce^d^x$

kde x je neznámá, kterou potřebuju vyjádřit, e je eulerovo číslo, a, c, d jsou zadaná známá čísla.
Díky za pomoc ;)

Rumburak

Jestliže je $a \ne 0$ , $c \ne 0$ , $d \ne 0$ (ostatní případy jsou triviální) , pak uvedená rovnice má dvě, jedno nebo žádné řešení, v závislosti
na volbě konstant a, b, c. Avšak vyjádřít řešení této rovnice nějakým jednoduchým vzorcem s využim elementárních funkcí (tj. shruba těch funkcí,
které se probírají v matematice střední školy) krom triviálních případů c = 0 nebo d = 0 neumíme.

K příbližnému řešení podobných rovnic (ovšem zpravidla pro konkretní případy) existují různé numerické metody založené na konvergenci
vhodně zvolených posloupností. Taková posloupnost je určena nějakým rekurentním předpisem a její limita je řešením rovnice.

Například zde v případě $d > 0 , c > 0, a < -dc$ by numerické řešeni způsobem popsaným výše zajistila posloupnost $(x_n)$ definovaná
předpisem

$x_0 := 0, x_{n+1} := \frac{c}{a}\,\,\mathrm{e}^{dx_n}$ .

(Naznačil jsem metodu založenou na Banachově větě o pevném bodu , ale existuje i řada dalších metod).

halogan · 12. 07. 2011 16:11

↑ Rumburak:

Dokonce jediné? Pokud se pohybujeme v oboru reálných čísel, dokážu si představit případy, kdy řešení nebude ani jedno, nebo třeba dvě.

Troufnul bych si říci, že jiný počet než 0, 1, nebo 2, nebude možný.

Rumburak

↑ halogan:
Máš pravdu, exponenciální fukce na pravé straně je konvexní resp. konkávní a přímka může mít s jejím grafem společné 0 až 2 body.
Hned to opravím, díky.

zuzaka.stohelitska · 12. 07. 2011 16:50

Jde mi o průsečík exponenciální funkce (ta má vždy předpis $y=ce^d^x$ ) s rovnicí lineární (ta vždy prochází počátkem). "d" je vždy záporné, "a" je vždy kladné, "c" by mělo být vždycky kladné (snad, doufám). Graficky mám rovnici vyřešenou, takže vím, že rovnice má pouze jedno řešení, jedno číslo. Nicméně potřebuju znát systém, tzn. jak je x závislé na těchto třech proměnných.

Rumburak · 12. 07. 2011 16:58

↑ zuzaka.stohelitska:

Nalézt funkci f tak, aby platilo x = f(a, c, d) ? Jistě nějaká existuje, ale je problém ji vyjádřit nějakým předpisem.

jarrro · 12. 07. 2011 17:05 — Editoval jarrro (13. 07. 2011 14:01)

presne sa to nedá jedine to vyjadriť funkciou inverznou k $x\cdot\mathrm{e}^x$ tá sa označuje písmenom W,ale nie je zaradená medzi elementárne funkcie potom máme
$ax=c\cdot\mathrm{e}^{dx}\nl c=ax\cdot\mathrm{e}^{-dx}\nl -\frac{cd}{a}=-dx\cdot\mathrm{e}^{-dx}\nl -dx=W\left(-\frac{cd}{a}\right)\nl x=-\frac{W\left(\frac{-cd}{a}\right)}{d}$
ak je navyše $\frac{cd}{a}<\frac{1}{\mathrm{e}}$ tak to má aspoň jeden koreň,lebo vtedy je W funkcia v reálnych číslach definovaná

Matematické Fórum

#1 12. 07. 2011 12:29

částečně exponenciální rovnice

#2 12. 07. 2011 15:47 — Editoval Rumburak (12. 07. 2011 16:36)

Re: částečně exponenciální rovnice

#3 12. 07. 2011 16:11

Re: částečně exponenciální rovnice

#4 12. 07. 2011 16:17 — Editoval Rumburak (13. 07. 2011 10:06)

Re: částečně exponenciální rovnice

#5 12. 07. 2011 16:50

Re: částečně exponenciální rovnice

#6 12. 07. 2011 16:58

Re: částečně exponenciální rovnice

#7 12. 07. 2011 17:05 — Editoval jarrro (13. 07. 2011 14:01)

Re: částečně exponenciální rovnice

Zápatí