Matematické Fórum

Olin · 18. 07. 2011 20:05 — Editoval Olin (18. 07. 2011 20:07)

Nechť $\{A_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ je posloupnost podmnožin libovolného topologického prostoru. Dokažte, že

$\overline{\bigcup_{i =1}^\infty A_i} = \left ( \bigcup_{i =1}^\infty \overline{A_i} \right ) \cup \left ( \bigcap_{i =1}^\infty \overline{\bigcup_{j = i}^\infty A_j} \right )$ .

Pavel Brožek

Dokážu nejprve

$\overline{\bigcup_{i =1}^\infty A_i} \supseteq \left ( \bigcup_{i =1}^\infty \overline{A_i} \right ) \cup \left ( \bigcap_{i =1}^\infty \overline{\bigcup_{j = i}^\infty A_j} \right )$ ,

k druhé části důkazu se případně vrátím později. (Zatím ji vymyšlenou nemám, předpokládám, že bude obtížnější.)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Olin · 20. 07. 2011 12:52

Souhlasím. Uvedenou inklusi jsem dokazoval trochu stručněji:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Druhá inkluse mi vskutku připadla obtížnější.

Rumburak

↑ Olin: , ↑ Pavel Brožek:

Důkaz obrácené inkluse také není těžký :

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Olin · 22. 07. 2011 00:10 — Editoval Olin (23. 07. 2011 12:51)

↑ Rumburak:

Velmi pěkné, já jsem se při tomto důkazu nevyhnul topologickým úvahám.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Rumburak

↑ Olin:

Tvé řešení je také pěkné a stojí za to si ho zapamatovat. I v mém řešení jsou přítomny topologické úvahy, a sice hned v prvním řádku,
kde jsem využil skutečnosti, že operece uzávěru je konečně additivní. Holt jsme v topologii ...

(To sjednocení v podmínce (2) u Tebe zřejmě mělo probíhat od j = i. Já indexy i, j nerad používám vedle sebe,
protože při nižší hladině pozornosti se mi popletou buďto mezi sebou nebo s jedničkou. :-) )

Matematické Fórum

#1 18. 07. 2011 20:05 — Editoval Olin (18. 07. 2011 20:07)

Uzávěr spočetného sjednocení

#2 18. 07. 2011 20:57 — Editoval Pavel Brožek (18. 07. 2011 21:01)

Re: Uzávěr spočetného sjednocení

#3 20. 07. 2011 12:52

Re: Uzávěr spočetného sjednocení

#4 20. 07. 2011 14:13 — Editoval Rumburak (20. 07. 2011 14:15)

Re: Uzávěr spočetného sjednocení

#5 22. 07. 2011 00:10 — Editoval Olin (23. 07. 2011 12:51)

Re: Uzávěr spočetného sjednocení

#6 22. 07. 2011 09:54 — Editoval Rumburak (22. 07. 2011 10:14)

Re: Uzávěr spočetného sjednocení