Matematické Fórum

Skrytý text:


Nechť . Pak nutně nastane alespoň jeden z následujících dvou případů:

1)

Existuje tedy takové, že . Z definice uzávěru víme, že pro všechna okolí bodu x platí . Pro každé okolí bodu x proto také platí . To je opět definice uzávěru a máme tak .

2)

je prvkem průniku, tudíž je prvkem každé množiny toho průniku: . Opět použiju definici uzávěru. Pro každé i a pro každé okolí platí . Po záměně průniku a sjednocení . Z toho víme, že existuje (závislé na i a ) takové, že . Když zvětšíme jednu z množin v průniku, rozhodně tím nezpůsobíme, že by se najednou stal průnik prázdnou množinou: . Máme tedy opět to, co jsme chtěli, .

Skrytý text:

Nechť je libovolné přirozené číslo. Potom

,

z čehož, položíme-li , , obdržíme .

Pravou stranu poslední inkluse upravíme dle de Morganova vzorce ,  tedy

  ,  neboli     ,  QDE.