Matematické Fórum

↑ terinkad:

Priamka v priestore sa dá určiť len parametricky alebo sa napíše, ktoré dve roviny sa v nej pretínajú.

Ja poznám len postup "hrubá sila".

1. Zvolím si dva bodyA,B, ktorých súradnice spĺňajú obidve rovnice (napríklad prvý bod x = 0 a potom dopočítam y a z bodu oboch priamok zo sústavy pre y a z, pre druhý bod zvolím napr. y = 0 a dorátam podobne x a z)

2. Zapíšem smerový vektor priamky napríklad ako B - A

3. Zapíšem parametrické vyjadrenie priamky

Pri Tvojich číslach by sa mi to nechcelo... + je možné, že tento postup nefunguje vždy.

↑ terinkad:

A netreba niečo robiť ďalej? Je tam napísané, že máš vyjadriť tú priamku parametricky?

Pro nalezení směrového vektoru průsečnice dvou rovin je šikovné použít vektorový součin normálových vektorů obou rovin. Souřadnice normálových vektorů snadno přečteme jako koeficienty u proměnných x, y a z. Označíme -li jeden normálový vektor a druhý , tak směrový vektor .
Tento postup selže pouze pokud jsou roviny rovnoběžné nebo splývají, neboť vektrový součin dvou rovnoběžných vektorů je nulový.

Edit: A souhlasím, že na některých školách se učí nalezení parametrického vyjádření výpočtem jistého determinantu. (mimochodem v tom determinantu lze vypozorovat výpočet kartézského součinu).

Edit2: A souhlasím i s tím, že řešení soustavy rovnic obou rovin je přímo parametrickým vyjádřením průsečnice (samozřejmě, pokud je hodnost soustavy 2 a taková průsečnice tedy existuje).

↑ terinkad:
V zásadě to je jednoduché. Máš normálové vektory obou rovin a jejich vektorový součin ti dá směrový vektor průsečnice. Pak si zvolíš bod P [x,y,0] a dosadíš do obou rovnic rovin a vyřešíš to jako 2 rovnice o dvou neznámých. Takže máš bod a směrový vektor průsečnice a tím pádem můžeš napsat parametrickou rovnici průsečnice obou rovin.

Omlouvám se, jestli toto řešení není totéž k tomu, co tu už někdo psal. Řekl bych ale že spíš ne.

1. Jako parametr si zvolím jednu ze souřadnic. Řekněme že parametr bude z.
2. Ze dvou rovnic rovin si vyjádřím neznámé x,y v závilosti na z

A tím máme hotové parametrické vyjádření přímky výjde něco jako

x = A*z + B
y = C*z + D
z = z

což můžeme přepsat do tvaru (pokud se nám nelíbí stejné označení souřadnice a parametru)

x = A*p + B
y = C*p + D
z = p

A,B,C,D budou nějaké konstanty které se získají z úpravy rovnic.

↑ terinkad: 

Nejprve shrnu zadání:
V jsou dány tři roviny  , ,  , z nichž  , jsou různoběžné a tedy se protínají v jisté přímce .
Máme za úkol vyšetřit vzájemnou polohu přímky s rovinou  .

Možný způsob řešení za předpokladu, že je zadání korektní, tj. že roviny  ,   jsou skutečně různoběžné
(což by se snadno ověřilo na základě lineární nezávislosti jejich normálových vektorů):

Hledáme společné body všech tří rovin (tj. jejich rovnice dáme do soustavy, kterou řešíme; každé její řešení 
představuje jeden společný bod všech těchto tří rovin). Možné výsledky:

    žádný společný bod ...    ==>   přímka  je rovnoběžná s rovinou a neleží v ní ,

    právě jeden společný bod  ...   ==>  přímka  je různoběžná s rovinou a protíná ji právě v tomto bodě,

    více než jeden společný bod  ...    ==>  přímka    leží v rovině     .